¿Pueden los grados de libertad ser un número no entero?

Cuando uso GAM, me da un DF residual de $26.6$ (última línea en el código). Qué significa eso? Yendo más allá del ejemplo de GAM, en general, ¿puede el número de grados de libertad ser un número no entero?

> library(gam)
> summary(gam(mpg~lo(wt),data=mtcars))

Call: gam(formula = mpg ~ lo(wt), data = mtcars)
Deviance Residuals:
    Min      1Q  Median      3Q     Max 
-4.1470 -1.6217 -0.8971  1.2445  6.0516 

(Dispersion Parameter for gaussian family taken to be 6.6717)

    Null Deviance: 1126.047 on 31 degrees of freedom
Residual Deviance: 177.4662 on 26.6 degrees of freedom
AIC: 158.4294 

Number of Local Scoring Iterations: 2 

Anova for Parametric Effects
            Df Sum Sq Mean Sq F value    Pr(>F)    
lo(wt)     1.0 847.73  847.73  127.06 1.239e-11 ***
Residuals 26.6 177.47    6.67

r degrees-of-freedom gam machine-learning pca lasso probability self-study bootstrap expected-value regression machine-learning linear-model probability simulation random-generation machine-learning distributions svm libsvm classification pca multivariate-analysis feature-selection archaeology r regression dataset simulation r regression time-series forecasting predictive-models r mean sem lavaan machine-learning regularization regression conv-neural-network convolution classification deep-learning conv-neural-network regression categorical-data econometrics r confirmatory-factor scale-invariance self-study unbiased-estimator mse regression residuals sampling random-variable sample probability random-variable convergence r survival weibull references autocorrelation hypothesis-testing distributions correlation regression statistical-significance regression-coefficients univariate categorical-data chi-squared regression machine-learning multiple-regression categorical-data linear-model pca factor-analysis factor-rotation classification scikit-learn logistic p-value regression panel-data multilevel-analysis variance bootstrap bias probability r distributions interquartile time-series hypothesis-testing normal-distribution normality-assumption kurtosis arima panel-data stata clustered-standard-errors machine-learning optimization lasso multivariate-analysis ancova machine-learning cross-validation

— Haitao Du
fuente

En general, sí, df puede ser un número de coma flotante.

— David Lane,

Probablemente quieras preguntar sobre un número real (o un número que no sea entero); un número de coma flotante es un concepto de computadora (una forma de aproximar números reales) que se relaciona con la implementación, pero realmente se está preguntando acerca de la idea matemática subyacente (y, por lo tanto, es mejor hacer una pregunta matemática). A menudo se encuentran situaciones en las que (por una razón u otra, no siempre es buena) una cantidad que es conceptualmente un número entero, sin embargo, en la implementación se almacena como un número de coma flotante. Sugiero "¿Puede un modelo tener grados de libertad no enteros?" por el título

— Glen_b: reinstala a Monica

Los grados de libertad no son enteros en varios contextos. De hecho, en algunas circunstancias, puede establecer que los grados de libertad para ajustar los datos para algunos modelos particulares deben estar entre algún valor $k$ y $k+1$ .

Generalmente pensamos en los grados de libertad como el número de parámetros libres, pero hay situaciones en las que los parámetros no son completamente libres y pueden ser difíciles de contar. Esto puede suceder al suavizar / regularizar, por ejemplo.

Los casos de regresión ponderada localmente / métodos de kernel y splines suavizados son ejemplos de tal situación: un número total de parámetros libres no es algo que pueda contar fácilmente sumando predictores, por lo que se necesita una idea más general de los grados de libertad.

gam $\hat y = Ay$ $\operatorname{tr}(A)$ $\operatorname{tr}(AA^T)$ $\operatorname{tr}(2A-AA^T)$ $\operatorname{tr}(A)$ $X$ $A$

$\operatorname{tr}(A)$

$\sum_i \frac{\partial \hat y_i}{\partial y_i}$ $\operatorname{tr}(A)$ $\hat y$ $\frac{\partial \hat y_i}{\partial y_i}$

Para modelos como los instalados gam, esas diversas medidas generalmente no son enteras.

(Recomiendo encarecidamente leer la discusión de estas referencias sobre este tema, aunque la historia puede volverse bastante más complicada en algunas situaciones. Ver, por ejemplo, [4])

[1] Hastie, T. y Tibshirani, R. (1990),
Generalized Additive Models
London: Chapman and Hall.

[2] Hastie, T., Tibshirani, R. y Friedman, J. (2009),
The Elements of Statistical Learning: Data Mining, Inference, and Prediction , 2ndEd
Springer-Verlag.
https://statweb.stanford.edu/~tibs/ElemStatLearn/

[3] Ye, J. (1998),
"Sobre la medición y corrección de los efectos de la minería de datos y la selección de modelos",
Journal of the American Statistical Association , vol. 93, núm. 441, págs. 120-131

[4] Janson, L., Fithian, W. y Hastie, T. (2013),
"Grados efectivos de libertad: una metáfora defectuosa"
https://arxiv.org/abs/1312.7851

— Glen_b -Reinstate a Monica
fuente

No es relevante para este caso, pero la prueba t de Welch de dos muestras cuando las varianzas son desiguales puede tener un número no entero de grados de libertad.

— Michael R. Chernick

Como puede el epsilon corregido df en medidas repetidas ANOVA.

— David Lane,

Otra referencia es statweb.stanford.edu/~tibs/ElemStatLearn/printings/… sección 5.4.1 Grados de libertad y matrices más suaves

— Adrian

@Adrian gracias; Había estado lanzando si agregar solo esa referencia (y en particular si mencionar la ecuación 5.16 en la sección a la que apunta). Llegué a la conclusión de que es una buena idea agregarlo.

— Glen_b -Reinstalar Monica