Suma de dos productos normales es Laplace?

Aparentemente, es el caso de que si , entonces $X_i \sim N(0,1)$

$X_1 X_2 + X_3 X_4 \sim \mathrm{Laplace(0,1)}$

He visto artículos sobre formas cuadráticas arbitrarias, que siempre resultan en horribles expresiones de chi-cuadrado no central.

La simple relación anterior no me parece nada obvia, así que (si es cierto) ¿alguien tiene una prueba simple de lo anterior?

— Corone
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Una secuencia elemental de pasos que utilizan relaciones bien conocidas entre distribuciones y una identidad de polarización algebraica simple proporcionan una demostración elemental e intuitiva.

He encontrado esta identidad de polarización generalmente útil para razonar y calcular con productos de variables aleatorias, porque los reduce a combinaciones lineales de cuadrados. Es un poco como trabajar con matrices diagonalizándolas primero. (Hay más que una conexión superficial aquí).

Una distribución de Laplace es una diferencia de dos Exponenciales (lo que intuitivamente tiene algún sentido, porque un Exponencial es una distribución de "mitad de Laplace"). (El enlace demuestra esto mediante la manipulación de funciones características, pero la relación se puede probar utilizando una integración elemental que sigue a la definición de una diferencia como convolución).

Una distribución exponencial (que en sí misma es una distribución ) es también una (versión a escala de a distribución . El factor de escala es . Esto se puede ver fácilmente comparando los archivos PDF de las dos distribuciones. $\Gamma(1)$ $\chi^2(2)$ $1/2$

distribuciones $\chi^2$ se obtienen naturalmente como sumas de cuadrados de iid Distribuciones normales (que tienen medias cero). Los grados de libertad,, cuentan el número de distribuciones normales en la suma. $2$

La relacion algebraica

X_{1} X_{2} + X_{3} X_{4} = [{(\frac{X_{1} + X_{2}}{2})}^{2} + {(\frac{X_{3} + X_{4}}{2})}^{2}] - [{(\frac{X_{1} - X_{2}}{2})}^{2} + {(\frac{X_{3} - X_{4}}{2})}^{2}]

$X_1X_2 + X_3X_4 = \left[\left(\frac{X_1+X_2}{2}\right)^2 + \left(\frac{X_3+X_4}{2}\right)^2\right] - \left[\left(\frac{X_1-X_2}{2}\right)^2 + \left(\frac{X_3-X_4}{2}\right)^2\right]$

$X_1X_2 + X_3X_4$ $(0,\sqrt{1/2})$ $\chi^2(2)$ $\sqrt{1/2}\ ^2=1/2$

$X_1X_2+X_3X_4$

— whuber
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¡Eso es absolutamente encantador!

— Corone

Acabo de notar que otra respuesta, basada en funciones generadoras de momentos, aparece en stats.stackexchange.com/a/51717/919 : vea el párrafo en el medio que comienza "incidentalmente" (otro nombre para la distribución de Laplace es "bi-exponencial" ) Ese hilo concierne al MGF de una generalización de la presente pregunta.

— whuber

Buena derivación, pero ¿cómo sabe que la diferencia de dos variables distribuidas exponenciales independientes tiene una distribución laplaciana?

— HelloGoodbye

@Hola Por favor, siga el enlace: va a un artículo de Wikipedia que incluye una breve demostración.

— whuber

$X\sim \mathrm{Laplace}(0,1)$

ϕ_{X} (t) = \frac{1}{1 + t^{2}}

$\phi_X(t) = \frac{1}{1+t^2}$

— Michael M
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