Número de partición de protocolo y complejidad de comunicación determinista

Además de la complejidad de comunicación (determinista) de una relación , otra medida básica para la cantidad de comunicación necesaria es el número de partición de protocolo . La relación entre estas dos medidas se conoce hasta un factor constante. La monografía de Kushilevitz y Nisan (1997) da$cc(R)$$R$ $pp(R)$

Con respecto a la segunda desigualdad, es fácil dar (una familia infinita de) relaciones con .log 2 ( p p ( R ) ) = c c ( R $R$$\log_2(pp(R)) = cc(R)$

Con respecto a la primera desigualdad, Doerr (1999) demostró que podemos reemplazar el factor en el primer límite por . ¿En cuánto puede mejorarse el primer límite, si es que lo hace? c = $c=3$$c=2.223$

Motivación adicional de la complejidad descriptiva: mejorar la constante dará como resultado un límite inferior mejorado en el tamaño mínimo de expresiones regulares equivalente a un DFA dado que describe un lenguaje finito, ver Gruber y Johannsen (2008). $2.223$

Aunque no está directamente relacionado con esta pregunta, Kushilevitz, Linial y Ostrovsky (1999) dieron relaciones con , donde es El número de partición del rectángulo .$R$$cc(R)/(2-o(1)) \ge \log_2(rp(R))$$rp(R)$

EDITAR: Observe que la pregunta anterior es equivalente a la siguiente pregunta en la complejidad del circuito booleano: ¿Cuál es la constante óptima tal que cada fórmula booleana DeMorgan de tamaño de hoja L se pueda transformar en una fórmula equivalente de profundidad como máximo ?$c$$c \log_2L$

referencias :

• Kushilevitz, Eyal; Nisan, Noam: Complejidad de comunicación. Cambridge University Press, 1997.
• Kushilevitz, Eyal; Linial, Nathan; Ostrovsky, Rafail: La conjetura de matriz lineal en la complejidad de la comunicación es falsa, Combinatorica 19 (2): 241-254, 1999.
• Doerr, Benjamin: Complejidad de la comunicación y número de partición del protocolo, Informe técnico 99-28, Berichtsreihe des Mathematischen Seminars der Universität Kiel, 1999.
• Gruber, Hermann; Johannsen, Jan: Límites inferiores óptimos en el tamaño de expresión regular utilizando la complejidad de la comunicación. En: Fundamentos de la Ciencia del Software y las Estructuras de Computación 2008 (FoSSaCS 2008), LNCS 4962, 273-286. Saltador.

Ok, déjenme intentar probar que dos es suficiente, eso es . Lo siento, pero a veces escribo hojas en lugar del número de hojas / pp (R), siempre que el número sea menor que 1, obviamente quiero decir esto. Además, generalmente escribo <en lugar de para mejorar la legibilidad sin texto.$cc(R)\le 2\log_2(pp(R))$$\le$

Indirecta suponga que hay una R para la cual esto no es cierto y tomemos la R con la menor pp (R) posible que viole la desigualdad. Básicamente, tenemos que demostrar que usando dos bits, podemos reducir a la mitad el número de hojas en los cuatro resultados del árbol de protocolos, luego terminamos usando la inducción.

Denote el posible conjunto de entradas de Alice por X y de Bob por Y. Tome el centro del árbol de protocolo que logra las hojas pp (R), es decir, el nodo que elimina el árbol en tres partes, cada una con un máximo de 1/2 de las hojas pp (R), y denotan las entradas correspondientes por X0 e Y0. Sin pérdida de generalidad, podemos suponer que Alice habla en el centro y dice si su entrada pertenece a XL o XR, cuya unión disjunta es X0. Denote la razón de las hojas a pp (R) en XL Y0 por L, en XR Y0 por R y en el resto por D. Ahora dividimos el resto en tres partes más, de manera similar a Doerr, que denota las hojas cuyo rectángulo se cruza Y0 X por A, cuyo rectángulo se cruza X0$\times$$\times$$\times$$\times$ Y por B y el resto por C. Observe que A + B + C = D.

Ahora sabemos que L + R> 1/2, L, R <1/2 y sin pérdida de generalidad podemos suponer que L es como máximo R. También sabemos que D = A + B + C <1/2. De ello se deduce que 2L + A + B <1, de los cuales sabemos que L + A <1/2 o L + B <1/2, estos serán nuestros dos casos.

Caso L + A <1/2: Primero Bob dice si su entrada pertenece a Y0 o no. Si no, tenemos como máximo D <1/2 hojas restantes. Si es así, Alice dice si su entrada pertenece a XR o no. Si no, tenemos como máximo L + A <1/2 hojas restantes. Si lo hace, entonces tenemos R <1/2 hojas restantes.

Caso L + B <1/2: Primero Alice dice si su entrada pertenece a XR o no. Si lo hace, Bob le dice si pertenece a Y0 o no, dependiendo de esto tenemos hojas R o B restantes. Si la entrada de Alice no está en XR, Alice le dice si su entrada está en XL o no. Si es así, entonces tenemos L + B <1/2 hojas restantes. Si no, tenemos como máximo D <1/2 hojas restantes.

En todos los casos hemos terminado. Déjame saber lo que piensas.

$c\le 2$$c \le 1.73$

Referencias

Stasys Jukna. Complejidad de la función booleana: avances y fronteras. Springer, 2012.

VM Khrapchenko. Sobre una relación entre la complejidad y la profundidad. Metody Diskretnogo Analiza en Synthezis of Control Systems 32: 76–94, 1978.