Fórmula del estimador de regresión cuantil

He visto dos representaciones diferentes del estimador de regresión cuantil que son

Q (β_{q}) = \sum_{i : y_{i} \geq x_{i}^{'} β}^{n} q ∣ y_{i} - x_{i}^{'} β_{q} ∣ + \sum_{i : y_{i} < x_{i}^{'} β}^{n} (1 - q) ∣ y_{i} - x_{i}^{'} β_{q} ∣

$Q(\beta_{q}) = \sum^{n}_{i:y_{i}\geq x'_{i}\beta} q\mid y_i - x'_i \beta_q \mid + \sum^{n}_{i:y_{i}< x'_{i}\beta} (1-q)\mid y_i - x'_i \beta_q \mid$

Q (β_{q}) = \sum_{yo = 1}^{norte} ρ_{q} (y_{yo} - X_{yo}^{'} β_{q}), ρ_{q} (tu) = {tu}_{yo} (q - 1 ({tu}_{yo} < 0 0))

$Q(\beta_q) = \sum^{n}_{i=1} \rho_q (y_i - x'_i \beta_q), \hspace{1cm} \rho_q(u) = u_i(q - 1(u_i < 0 ))$

donde . ¿Alguien puede decirme cómo mostrar la equivalencia de estas dos expresiones? Esto es lo que intenté hasta ahora, comenzando por la segunda expresión. $u_i = y_i - x'_i \beta_q$

\begin{aligned} Q (β_{q}) & = \sum_{yo = 1}^{norte} {tu}_{yo} (q - 1 ({tu}_{yo} < 0 0)) (y_{yo} - X_{yo}^{'} β_{q}) \\ = \sum_{yo = 1}^{norte} (y_{yo} - X_{yo}^{'} β_{q}) (q - 1 (y_{yo} - X_{yo}^{'} β_{q} < 0 0)) (y_{yo} - X_{yo}^{'} β_{q}) \\ = [\sum_{yo : y_{yo} \geq X_{yo}^{'} β}^{norte} (q (y_{yo} - X_{yo}^{'} β_{q})) + \sum_{yo : y_{yo} < X_{yo}^{'} β}^{norte} (q (y_{yo} - X_{yo}^{'} β_{q}) - (y_{yo} - X_{yo}^{'} β_{q}))] (y_{yo} - X_{yo}^{'} β_{q}) \end{aligned}

$\begin{align} Q(\beta_q) &= \sum^{n}_{i=1} u_i(q - 1(u_i < 0 )) (y_i - x'_i \beta_q) \newline &= \sum^{n}_{i=1}(y_i - x'_i \beta_q)(q - 1(y_i - x'_i \beta_q < 0 )) (y_i - x'_i \beta_q) \newline &=\left[ \sum^{n}_{i:y_{i}\geq x'_{i}\beta}(q(y_i - x'_i\beta_q)) + \sum^{n}_{i:y_{i}< x'_{i}\beta}(q(y_i - x'_i\beta_q)-(y_i - x'_i\beta_q)) \right](y_i - x'_i\beta_q) \end{align}$ Pero desde este punto me quedé estancado en cómo proceder. Por favor, no es que esta no sea una tarea o una tarea asignada. Muchas gracias.

proof quantile-regression equivalence

— AlexH
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Si recuerda, OLS minimiza la suma de los residuos al cuadrado mientras que la regresión mediana minimiza la suma de los residuos absolutos . El estimador de desviaciones medias o menos absolutas (LAD) es un caso especial de regresión cuantil en el que tiene . En la regresión cuantil que minimiza una suma de errores absolutos que recibe pesos asimétricos para overprediction y para subpredicción. Puede comenzar desde la representación LAD y extender esto como la suma de la fracción de los datos que son ponderados por y dado su valor de , y trabajar en ello de la siguiente manera: $\sum_i u_{i}^{2}$ $\sum_i \mid u_i \mid$ $q = .5$ $(1-q)$ $q$ $q$ $(1-q)$ $u_i$

\begin{aligned} ρ_{q} (tu) & = 1 ({tu}_{yo} > 0 0) q ∣ {tu}_{yo} ∣ + 1 ({tu}_{yo} \leq 0 0) (1 - q) ∣ {tu}_{yo} ∣ \\ = 1 (y_{yo} - X_{yo}^{'} β_{q} > 0 0) q ∣ y_{yo} - X_{yo}^{'} β_{q} ∣ + 1 (y_{yo} - X_{yo}^{'} β_{q} \leq 0 0) (1 - q) ∣ y_{yo} - X_{yo}^{'} β_{q} ∣ \end{aligned}

$\begin{align} \rho_q(u) &= 1(u_i>0) \, q\mid u_i\mid + 1(u_i\leq 0) \, (1-q)\mid u_i \mid \newline &= 1(y_i - x'_i \beta_q > 0) \, q\mid y_i - x'_i \beta_q \mid + 1(y_i - x'_i\beta_q \leq 0) \, (1-q)\mid y_i - x'_i \beta_q \mid \end{align}$ Esto solo utiliza el hecho de que y luego puede volver a escribir la función del indicador como sumas de las observaciones que satisfacen las condiciones de los indicadores . Esto le dará la primera expresión que anotó para el estimador de regresión cuantil.

u_{i} = y_{i} - x_{i}^{'} β_{q}

$u_i = y_i - x'_i \beta_q$

\begin{aligned} = \sum_{yo : y_{yo} > X_{yo}^{'} β_{q}}^{norte} q ∣ y_{yo} - X_{yo}^{'} β_{q} ∣ + \sum_{yo : y_{yo} \leq X_{yo}^{'} β_{q}}^{norte} (1 - q) ∣ y_{yo} - X_{yo}^{'} β_{q} ∣ \\ = q \sum_{yo : y_{yo} > X_{yo}^{'} β_{q}}^{norte} ∣ y_{yo} - X_{yo}^{'} β_{q} ∣ + (1 - q) \sum_{yo : y_{yo} \leq X_{yo}^{'} β_{q}}^{norte} ∣ y_{yo} - X_{yo}^{'} β_{q} ∣ \\ = q \sum_{yo : y_{yo} > X_{yo}^{'} β_{q}}^{norte} (y_{yo} - X_{yo}^{'} β_{q}) - (1 - q) \sum_{yo : y_{yo} \leq X_{yo}^{'} β_{q}}^{norte} (y_{yo} - X_{yo}^{'} β_{q}) \\ = q \sum_{yo : y_{yo} > X_{yo}^{'} β_{q}}^{norte} (y_{yo} - X_{yo}^{'} β_{q}) - \sum_{yo : y_{yo} \leq X_{yo}^{'} β_{q}}^{norte} (y_{yo} - X_{yo}^{'} β_{q}) + q \sum_{yo : y_{yo} \leq X_{yo}^{'} β_{q}}^{norte} (y_{yo} - X_{yo}^{'} β_{q}) \\ = q \sum_{yo = 1}^{norte} (y_{yo} - X_{yo}^{'} β_{q}) - \sum_{yo = 1}^{norte} 1 (y_{yo} - X_{yo}^{'} β_{q} \leq 0 0) (y_{yo} - X_{yo}^{'} β_{q}) \\ = \sum_{yo = 1}^{norte} (q - 1 ({tu}_{yo} \leq 0 0)) {tu}_{yo} \end{aligned}

$\begin{align} &= \sum^{n}_{i:y_i>x'_i\beta_q}q\mid y_i - x'_i\beta_q \mid + \sum^{n}_{i:y_i\leq x'_i\beta_q} (1-q) \mid y_i - x'_i\beta_q \mid \newline &= q \sum^{n}_{i:y_i>x'_i\beta_q} \mid y_i - x'_i\beta_q \mid + (1-q)\sum^{n}_{i:y_i\leq x'_i\beta_q} \mid y_i - x'_i\beta_q \mid \newline &= q \sum^{n}_{i:y_i>x'_i\beta_q} (y_i - x'_i\beta_q) - (1-q)\sum^{n}_{i:y_i\leq x'_i\beta_q} ( y_i - x'_i\beta_q ) \newline &= q \sum^{n}_{i:y_i>x'_i\beta_q} (y_i - x'_i\beta_q) - \sum^{n}_{i:y_i\leq x'_i\beta_q} (y_i - x'_i\beta_q) + q \sum^{n}_{i:y_i\leq x'_i\beta_q} (y_i - x'_i\beta_q) \newline &= q \sum^{n}_{i=1} (y_i - x'_i \beta_q) - \sum^{n}_{i=1}1(y_i - x'_i\beta_q\leq 0)(y_i - x'_i\beta_q) \newline &= \sum^{n}_{i=1}(q - 1(u_i \leq 0))u_i \end{align}$

La segunda línea saca los pesos de las sumas. La tercera línea elimina los valores absolutos y los reemplaza por los valores reales. Por definición, es negativo siempre que , de ahí el cambio de signo en esta línea. La cuarta línea se multiplica . Entonces te das cuenta de que y reemplazando la suma del término medio en la cuarta línea por el indicador correspondiente llegas a la quinta línea. Factorizando y luego reemplazando $y_i - x'_i\beta_q$ $y_i < x'_i\beta_q$ $(1-q)$

q \sum_{yo : y_{yo} > X_{yo}^{'} β_{q}}^{norte} (y_{yo} - X_{yo}^{'} β_{q}) + q \sum_{yo : y_{yo} \leq X_{yo}^{'} β_{q}}^{norte} (y_{yo} - X_{yo}^{'} β_{q}) = \sum_{yo = 1}^{norte} (y_{yo} - X_{yo}^{'} β_{q})

$q\sum^{n}_{i:y_i>x'_i\beta_q}(y_i - x'_i\beta_q) + q\sum^{n}_{i:y_i \leq x'_i\beta_q}(y_i - x'_i\beta_q) = \sum^{n}_{i=1}(y_i - x'_i\beta_q)$

y_{i} - x_{i}^{'} β_{q}

$y_i - x'_i\beta_q$

u_{i}

$u_i$
Esto muestra cómo las dos expresiones son equivalentes.

— Andy
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