Intervalos de confianza al usar el teorema de Bayes

Estoy calculando algunas probabilidades condicionales y los intervalos de confianza del 95% asociados. Para muchos de mis casos, tengo recuentos directos de xéxitos fuera de los nensayos (de una tabla de contingencia), por lo que puedo usar un intervalo de confianza binomial, como se proporciona binom.confint(x, n, method='exact')en R.

Sin embargo, en otros casos, no tengo esos datos, así que uso el teorema de Bayes para calcular la información que tengo. Por ejemplo, eventos dado y : $a$ $b$

P (a | b) = \frac{P (b | a) \cdot P (a)}{P (b)}

$P(a|b) = \frac{P(b|a) \cdot P(a)}{P(b)}$

Puedo calcular un intervalo de confianza del 95% alrededor de usando , y calculo el relación como su relación de frecuencia . ¿Es posible derivar un intervalo de confianza alrededor de utilizando esta información? $P(b|a)$ $\textrm{binom.confint}(\#\left(b\cap{}a),\#(a)\right)$ $P(a)/P(b)$ $\#(a)/\#(b)$ $P(a|b)$

Gracias.

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— Ken Williams
fuente

a

$a$ y

b

$b$ son eventos En mi caso,

a

$a$ es un fallo del sistema (que es bastante raro, por lo que es relativamente difícil de encontrar "en la naturaleza"), y

b

$b$ es una alarma previa a la falla, así que estoy midiendo la probabilidad de falla dada una alarma.

— Ken Williams

El comentario anterior fue en respuesta a alguien que pidió más información sobre qué

a

$a$ y

b

$b$ fueron, pero parece haber eliminado ese comentario.

— Ken Williams

Bueno, no puede simplemente tomar el intervalo de confianza para p (b | a) y escalarlo por p (a) / p (b) debido a la incertidumbre en la estimación de esa relación. Si puede construir un intervalo de confianza de 100 (1-α)% para p (a) / p (b), llámelo [A, B] y luego tome el límite inferior para un intervalo de confianza de 100 (1-α)% para p ( b | a) y multiplíquelo por A y tome el límite superior para p (b | a) y multiplíquelo por B. Eso debería dar en un intervalo que tenga al menos un 100 (1-α)

^{2}

$^2$ % de nivel de confianza para p (a | b).

— Michael R. Chernick

Podría funcionar ... obteniendo un intervalo de confianza para

P (a) / P (b)

$P(a)/P(b)$ sin embargo, no es obvio para mí: ¿tiene ganas de mover esto al área de "Respuesta"? Prometo al menos un voto a favor. =)

— Ken Williams

¿No quieres un intervalo bayesiano creíble en su lugar? Eso es directamente computable a partir de la distribución posterior de .

a

$a$

— whuber

Bueno, no puede simplemente tomar el intervalo de confianza para y escalarlo por debido a la incertidumbre en la estimación de esa relación. Si puede construir un intervalo de confianza para , entonces tome el límite inferior para un intervalo de confianza para y se multiplica por y tomar el límite superior para y se multiplica por . Eso debería dar en un intervalo que tenga al menos un nivel de confianza para . $p(b|a)$ $p(a)/p(b)$ $100(1-\alpha)\%$ $[A, B]$ $p(a)/p(b)$ $100(1-\alpha)\%$ $p(b|a)$ $A$ $p(b|a)$ $B$ $100(1-\alpha)^2\%$ $p(a|b)$

— Michael R. Chernick
fuente

Eso parece viable al menos como primera puñalada. Pero no conozco un método para derivar intervalos de confianza para la razón de dos probabilidades de Bernoulli

P (a) / P (b)

$P(a)/P(b)$ dado recuentos observados de

a

$a$ y

b

$b$ en una muestra de población.

— Ken Williams

Hay un supuesto método para calcular un intervalo en

P (a) / P (b)

$P(a)/P(b)$ por Katz et al., 1978. No puedo encontrar el documento original sin paywalls, pero esta cita parece mostrar el método: jstor.org/discover/10.2307/2531405

— Ken Williams

Si no me he equivocado, he aquí una función para hacer esa estimación de intervalo de relación de Bernoullis:

binrat.confint <- function(x, y, n=Inf, m=n, p=0.95) {   s2 <- 1/x - 1/n + 1/y - 1/m;   x/y * exp(c(-1:1)*pnorm((1+p)/2)*sqrt(s2)) }

— Ken Williams