¿Cómo es , la coordenada polar, distribuida cuando y cuando ?

Deje que las coordenadas cartesianas $x,y$ de un punto aleatorio se seleccionen st $(x,y) \sim U(-10,10) \times U(-10,10)$ .

Por lo tanto, el radio, $\rho = \sqrt{x^2 + y^2}$ , no se distribuye uniformemente como lo implica el pdf de \ rho .$\rho$

No obstante, esperaría que $\theta = \arctan{\frac{y}{x}}$ sea ​​casi uniforme, excluyendo los artefactos debido a las 4 sobras en los bordes:

Las siguientes son las funciones de densidad de probabilidad calculadas gráficamente de $\theta$ y $\rho$ :

Ahora si dejo que se distribuya st entonces parece distribuido uniformemente:x , y ∼ N ( 0 , 20 2 ) × N ( 0 , 20 2 ) $x,y$$x,y \sim N(0,20^2)\times N(0,20^2)$$\theta$

¿Por qué no es uniforme cuando y es uniforme cuando ?( x , y ) ∼ U ( - 10 , 10 ) × U ( - 10 , 10 ) x , y ∼ N ( 0 , 20 2 ) × N ( 0 , 20 2$\theta$$(x,y) \sim U(-10,10) \times U(-10,10)$$x,y \sim N(0,20^2)\times N(0,20^2)$

El código de Matlab que utilicé:

number_of_points = 100000;
rng('shuffle')

a = -10;
b = 10;
r = (b-a).*randn(2,number_of_points);
r = reshape(r, [2,number_of_points]);
I = eye(2);
e1 = I(:,1); e2 = I(:,2);
theta = inf*ones(1,number_of_points);
rho = inf*ones(1,number_of_points);

for i=1:length(r(1,:))
    x = r(:,i);
    [theta(i),rho(i)] = cart2pol(x(1),x(2));        
end

figure
M=3;N=1; bins = 360;
subplot(M,N,1); 
histogram(rad2deg(theta), bins)
title('Polar angle coordinate p.d.f');

subplot(M,N,2); 
histogram(rho, bins);
title('Polar radius coordinate p.d.f');

subplot(M,N,3); 
histogram(r(:));
title('The x-y cooridnates distrbution (p.d.f)');

Sustituyendo la tercera línea: r = (b-a).*randn(2,number_of_points);con r = (b-a).*randn(2,number_of_points) +a ;cambiará la distribución de de normal a uniforme.$(x,y)$

Se refiere a una transformación de un par de variables independientes a la representación polar (radio y ángulo), y luego observa la distribución marginal de .( R , θ ) $(X,Y)$$(R,\theta)$$\theta$

Voy a ofrecer una explicación algo intuitiva (aunque una derivación matemática de la densidad hace esencialmente lo que describo informalmente).

Tenga en cuenta que si escala las dos variables, X e Y según alguna escala común (por ejemplo, vaya de U (-1,1) a U (-10,10) o de N (0,1) a N (0,20) en ambas variables al mismo tiempo) que no hace diferencia en la distribución del ángulo (solo afecta la escala de la distribución del radio). Así que consideremos los casos unitarios.

Primero considere lo que está sucediendo con el caso del uniforme. Tenga en cuenta que la distribución es uniforme sobre el cuadrado de la unidad, de modo que la densidad de probabilidad en una región contenida dentro de es proporcional al área de la región. Específicamente, observe la densidad asociada con un elemento de ángulo, cerca de la horizontal (ángulo cercano ) y en la diagonal (ángulo cercano ): d θ θ = 0 θ = π /$[-1,1]^2$$d\theta$$\theta=0$$\theta=\pi/4$

Claramente, el elemento de probabilidad (es decir, área) correspondiente a un elemento de ángulo ( ) es mayor cuando el ángulo está cerca de una de las diagonales. De hecho, considere inscribir un círculo dentro del cuadrado; el área abarcada por un ángulo pequeño dado dentro del círculo es constante, y luego la parte fuera del círculo crece a medida que nos acercamos a la diagonal, donde está al máximo. d $df_\theta$$d\theta$

Esto explica completamente el patrón que ves en las simulaciones.

De hecho, podemos ver que la densidad debe ser proporcional a la longitud del segmento desde el centro del cuadrado hasta su borde; La trigonometría simple es suficiente para derivar la densidad a partir de ahí y luego es fácil encontrar la constante requerida para hacer que la densidad se integre a 1.

[Editar: agregué este siguiente bit para discutir el radio, ya que la pregunta ha cambiado desde mi respuesta original.]

Tenga en cuenta que si tuviéramos una distribución uniforme sobre el círculo unitario (es decir, el que inscribimos en el cuadrado antes), entonces la densidad del radio para eso sería proporcional al radio (considere el área de un pequeño elemento anular de ancho en radio - es decir, entre y - tiene un área proporcional a ). Luego, cuando pasamos fuera del círculo, las nuevas regiones anulares con un radio mayor solo obtienen contribuciones de densidad de la parte en el cuadrado, por lo que la densidad disminuye (inicialmente bastante rápido, luego más lentamente) entre y . (Nuevamente, las nociones geométricas bastante simples son suficientes para obtener la forma funcional de la densidad si es necesario).r r r + d r r 1 $dr$$r$$r$$r+dr$$r$$1$$\sqrt 2$

Por el contrario, si la distribución conjunta es simétrica rotacionalmente sobre el origen, entonces el elemento de probabilidad en algún ángulo no depende del ángulo (¡esto es esencialmente una tautología!). La distribución bivariada de dos gaussianos estándar independientes es rotacionalmente simétrica respecto al origen:

(código para esta imagen basado en el código de Elan Cohen aquí, pero hay una buena alternativa aquí , y algo entre los dos aquí )

En consecuencia, el volumen contenido en algún ángulo es el mismo para cada , por lo que la densidad asociada con el ángulo es uniforme en .θ [ 0 , 2 π $d\theta$$\theta$$[0,2\pi)$

[El truco polar que se usa típicamente para integrar la densidad normal sobre la línea real se puede usar para descubrir que la densidad del radio cuadrado es exponencial negativa, y desde allí la densidad del radio es fácil de identificar mediante un argumento de transformación simple de la funcion de distribucion]

Contestaré la pregunta sobre el caso normal que conduce a la distribución uniforme. Es bien sabido que si e Y son independientes y normalmente distribuidos, los contornos de densidad de probabilidad constante es un círculo en el plano x - y . El radio R = $X$$Y$$x-y$ tiene ladistribución de Rayleigh. Para una buena discusión de esto, el artículo de Wikipedia titulado Distribución de Rayleigh.$R= \sqrt{X^2+ Y^2}$

Ahora veamos las variables aleatorias e Y usando coordenadas polares.$X$$Y$

, Y = r sin ( θ ) . tenga en cuenta que X 2 + Y 2 = r 2 . Si θ es uniforme en ( 0 , 2 π ) y r tiene una distribución de Rayleigh X y Y habrá normales independientes cada uno con 0 media y una varianza común. Lo contrario también es cierto. La prueba de lo contrario es lo que creo que el OP quiere como respuesta a la segunda parte de la pregunta.$X = r\cos(\theta)$$Y = r \sin(\theta)$$X^2 +Y^2= r^2$$\theta$$(0,2 \pi)$$r$$X$$Y$$0$

Aquí hay un boceto de la prueba. Sin pérdida de generalidad, podemos suponer que se distribuye N ( 0 , 1 ) e Y se distribuye N ( 0 , 1 ) e independientes entre sí.$X$$N(0,1)$$Y$$N(0,1)$

Entonces la densidad conjunta . Usa la transformación a coordenadas polares para obtener g ( r , θ ) . Dado que x = r sin ( θ ) e y = r cos ( θ ) . Entonces $f(x,y) = (1/2 \pi)\exp[(-[x^2 +y^2])/2]$$g(r, \theta)$$x = r \sin(\theta)$$y = r \cos(\theta)$ yθ=arctan(x/y). Calcule el jacobiano de la transformación y realice la sustitución apropiada enf(x,y). Como resultado,g(r,θ)serárexp[(-r2)/(2π)]parar≥0y0≤θ$r= \sqrt{x^2 + y^2}$$\theta = \arctan(x/y)$$f(x,y)$$g(r, \theta)$$r \exp[(-r^2)/(2 \pi)]$$r\geq0$ . Esto muestra que r y theta son independientes con r que tiene una distribución de Rayleigh y theta tiene la densidad constante 1 / ( 2 π ) .$0\leq\theta\leq 2 \pi$$r$$r$$1/(2 \pi)$

Para completar las respuestas bastante buenas dadas por Glen y Michael, calcularé la densidad de cuando la distribución de ( X , Y ) sea ​​uniforme en el cuadrado [ - 1 , 1 ] × [ - 1 , 1 ] . Esta densidad uniforme es $\theta$$(X,Y)$$[-1,1]\times[-1,1]$ en este cuadrado,0 enotra parte, es decir, la probabilidad de muestrear un punto en una región determinada del cuadrado es$1 \over 4$$0$ el área de esta región.$1 \over 4$

La región de interés para nuestra pregunta es el sector rojo en este dibujo:

$\theta$$\theta + d\theta$$\theta$$\theta + d\theta$$\theta$

$\theta\in \left[ -{\pi \over 4}, {\pi\over 4}\right]$$\pi\over 2$

$1\over \cos\theta$

$a$$b$$\alpha$${1\over 2}ab\sin\alpha$

$\theta$

Verificación:

x <- runif(1e6, -1, 1)
y <- runif(1e6, -1, 1)
hist( atan2(y,x), freq=FALSE, breaks=100)
theta <- seq(-pi, pi, length=500)
lines(theta, 0.125/cos((theta + pi/4)%%(pi/2) - pi/4)**2, col="red" )