Por qué las personas a menudo optimizan el determinante de

Digamos que tengo un vector aleatorio $Y\sim N(X\beta,\Sigma)$ y $\Sigma\neq\sigma^2 I$. Es decir, los elementos de$Y$ (dado $X\beta$) están correlacionados.

El estimador natural de $\beta$ es $(X'\Sigma^{-1}X)^{-1}X'\Sigma^{-1}Y$y $\text{var}(\hat{\beta})=(X'\Sigma^{-1}X)^{-1}$

En un contexto de diseño, el experimentador puede jugar con el diseño, lo que dará como resultado diferentes $X$ y $\Sigma$ por lo tanto diferente $\text{var}(\hat{\beta})$. Para elegir un diseño óptimo, veo que las personas a menudo tratan de minimizar el factor determinante de$(X'\Sigma^{-1} X)^{-1}$, ¿cuál es la intuición detrás de esto?

¿Por qué no, por ejemplo, minimiza la suma de sus elementos?

Como criterio de diseño, para minimizar el determinante de $(X'\Sigma^{-1} X)^{-1}$, que es lo mismo que maximizar el determinante de $(X'\Sigma^{-1} X)$, se conoce como diseño experimental D-óptimo. El determinante de una matriz de covarianza se conoce como la varianza generalizada, por lo que estamos minimizando la varianza generalizada. Otros criterios funcionales de la matriz de covarianza podrían usarse como criterio, pero lo que usted propone (minimizar la suma de sus elementos) no tiene mucho sentido. El criterio de D-optimización tiene la gran ventaja práctica de ser invariable bajo transformaciones lineales de las variables regresivas, lo cual es una gran ventaja práctica. Invariancia medios que la optimalidad no está influenciado por cosas tales como la elección de las unidades de medida, (como m o km ). Con criterios de optimización no invariables, el resultado podría depender de cosas tan irrelevantes como la elección de las unidades de medida.

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