Métodos iterativos para sistemas indefinidos sin estructura de bloques.

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Los sistemas de matrices indefinidos aparecen, por ejemplo, en la discretización de problemas de punto de silla de montar mediante elementos finitos mixtos. La matriz del sistema se puede poner en forma

(\begin{matrix} A & B^{t} \\ B & C \end{matrix})

$\begin{pmatrix} A & B^t \\ B & C\end{pmatrix}$

donde es negativo (semi) -definito, es positivo (semi-) definido y es arbitrario. Por supuesto, dependiendo de la convención, puede usar condiciones de definición, pero esta es más o menos la estructura de esas matrices. $A$ $C$ $B$

Para estos métodos, se puede emplear el método de Uzawa, que en realidad es solo un "truco" para transformar el sistema en un sistema semi-definido equivalente que puede resolverse mediante el gradiente conjugado, el descenso de gradiente y similares.

Me enfrento a un sistema indefinido que no tiene esa estructura de bloques. Los métodos de tipo Uzawa no se aplican en ese caso. Soy consciente del método Residual Mínimo (MINRES) que ha sido introducido por Paige & Saunders, que es solo una recursión de tres términos y parece ser fácil de implementar.

Pregunta: ¿MINRES es generalmente una buena opción, por ejemplo, para la creación de prototipos? ¿Tiene alguna relevancia práctica? El preacondicionamiento no es un problema central en este momento.

linear-algebra iterative-method

— shuhalo
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¿Puedes decir un poco más sobre lo que hace que tus matrices sean especiales? Por ejemplo, ¿de qué tipo de problema proviene? ¿Hay algún otro tipo de estructura? Etc. Etc.

— Bill Barth

Lo he dejado intencionalmente en blanco para obtener la respuesta más general (francamente, esto supone implícitamente que hay una respuesta general satisfactoria). Pero el ejemplo con la siguiente ecuación de Helmholtz es bastante lo que tenía en mente.

— shuhalo

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Si no le preocupa el preacondicionamiento, MINRES es la opción estándar. Sin embargo, tenga en cuenta que MINRES requiere un preacondicionador simétrico positivo definido.

Si le preocupa el preacondicionamiento, es importante tener en cuenta las diferencias estructurales entre la mayoría de los problemas de punto de silla de montar y los problemas generales indefinidos. La mayoría de los problemas de punto de silla surgen cuando se resuelven problemas elípticos con restricciones impuestas por los multiplicadores de Lagrange. La incompresibilidad y las restricciones de contacto son ejemplos comunes. Para tales problemas, el operador es coercitivo en el subespacio en el que se cumple la restricción, con las funciones de Green que decaen rápidamente. Dichos problemas se pueden resolver de manera eficiente utilizando preacondicionadores de bloques (Uzawa preacondicionado es un miembro de esta familia), multirredes con suavizadores compatibles (por ejemplo, Vanka o basados en la descomposición de bloques) o descomposición de dominios multinivel con problemas locales y gruesos apropiados.

El ejemplo prototípico de un problema indefinido que no es un problema de punto de silla es la ecuación de Helmholtz

- \nabla \cdot (a \nabla u) - k^{2} u = f

$-\nabla\cdot \big( a \nabla u \big) - k^2 u = f$

$a(x)$ $k$

— Jed Brown
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Para ser justos, si bien los preacondicionadores son ciertamente técnicos para implementar de manera eficiente en paralelo, la idea no es específica de Helmholtz; El requisito principal es una condición límite absorbente (p. ej., Capas perfectamente combinadas).

— Jack Poulson el

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Una pregunta relacionada que podría ser de interés es ¿Qué pautas debo seguir al elegir un solucionador de sistemas lineal disperso? , aunque en este caso, solo le interesarían los métodos iterativos. Mi comprensión de los métodos iterativos es que la convergencia de cualquier método depende en gran medida del espectro de su matriz. Aunque no puede usar el método de Uzawa, aún puede probar GMRES, gradiente estabilizado de Biconjugate, MINRES, el método residual cuasi-mínimo y otros métodos iterativos que se aplican a las matrices indefinidas.

Si codificar los diversos métodos es una preocupación, puede llamar a los solucionadores en su algoritmo utilizando una biblioteca como PETSc , que implementa una variedad de solucionadores lineales iterativos.

— Geoff Oxberry
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MINRES es la mejor opción para este tipo de problema.

— Kees Vuik
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— Jed Brown

¿Podría explicarnos por qué MINRES es la mejor opción para este tipo de problema? Agregar más detalles ayudará a que su respuesta sea más útil para la comunidad y lo ayudará a obtener más votos.

— Geoff Oxberry