-convergencia del método de elementos finitos cuando el lado derecho está solo en(Poisson eqn)

Sé que la aproximación de elementos finitos lineales por partes de satisface siempre que sea lo suficientemente suave y . $u_h$

Δ u (x) = f (x) in U u (x) = 0 on \partial U

$\Delta u(x)=f(x)\quad\text{in }U\\ u(x)=0\quad\text{on }\partial U$

‖ u - u_{h} ‖_{H_{0}^{1} (U)} \leq C h ‖ f ‖_{L^{2} (U)}

$\|u-u_h\|_{H^1_0(U)}\leq Ch\|f\|_{L^2(U)}$

U

$U$

f \in L^{2} (U)

$f\in L^2(U)$

Pregunta: Si $f\in H^{-1}(U)\setminus L^2(U)$ , ¿tenemos la siguiente estimación análoga, en la que se quita una derivada en ambos lados:

‖ u - u_{h} ‖_{L^{2} (U)} \leq C h ‖ f ‖_{H^{- 1} (U)} ?

$\|u-u_{h}\|_{L^2(U)}\leq Ch\|f\|_{H^{-1}(U)}\quad?$

puedes proporcionar referencias?

Pensamientos: Como todavía tenemos $u\in H^1_0(U)$ , debería ser posible obtener convergencia en $L^2(U)$ . Intuitivamente, esto debería ser posible incluso con funciones constantes por partes.

— Bananach
fuente

Creo que obtienes

‖ u - u_{h} ‖_{0} \leq C h ‖ u - u_{h} ‖_{1}

$\|u-u_h\|_0 \leq C h \|u-u_h\|_1$ del truco estándar de Nitsche incluso para

u \in H^{1}

$u \in H^1$ . Puede encontrar esto, por ejemplo, en Braess - Elementos finitos.

— knl

Sí , este es el truco estándar de Aubin-Nitsche (o dualidad ). La idea es utilizar el hecho de que es su propio espacio dual para escribir la forma como norma de operador Por lo tanto, tenemos que estimar para arbitrario . Para hacer eso, " " a considerando primero para arbitraria la solución del problema dual $L^2$ $L^2$

‖ u ‖_{L^{2}} = sup_{ϕ \in L^{2} ∖ {0}} \frac{(u, ϕ)}{‖ ϕ ‖_{L^{2}}} .

$\|u\|_{L^2} = \sup_{\phi\in L^2\setminus\{0\}} \frac{(u,\phi)}{\|\phi\|_{L^2}}.$

(u - u_{h}, ϕ)

$(u-u_h,\phi)$

ϕ \in L^{2}

$\phi\in L^2$

u - u_{h}

$u-u_h$

H_{0}^{1}

$H^1_0$

ϕ \in L^{2}

$\phi\in L^2$

w_{ϕ} \in H_{0}^{1}

$w_\phi\in H^1_0$

\begin{matrix} (1) & (\nabla w_{ϕ}, \nabla v) = (ϕ, v) for all v \in H_{0}^{1} . \end{matrix}

$\label{eq1}\tag{1} (\nabla w_\phi,\nabla v) =(\phi,v) \qquad\text{for all }v\in H^1_0.$ Usando la regularidad estándar de la ecuación de Poisson, sabemos que

‖ w_{ϕ} ‖_{H^{2}} \leq C ‖ ϕ ‖_{L^{2}} .

$\|w_\phi\|_{H^2}\leq C \|\phi\|_{L^2}.$

Insertar en y usar la ortogonalidad de Galerkin para cualquier elemento finito (en su caso, función lineal por partes) produce la estimación Dado que esto es válido para todo , la desigualdad sigue siendo cierta si tomamos el mínimo sobre todos los lineales por . Por lo tanto obtenemos $v=u-u_h\in H^1_0$ $\eqref{eq1}$ $w_h$

\begin{aligned} (ϕ, u - u_{h}) & = (\nabla w_{ϕ}, \nabla (u - u_{h})) \\ = (\nabla w_{ϕ} - \nabla w_{h}, \nabla (u - u_{h})) \\ \leq C ‖ u - u_{h} ‖_{H^{1}} ‖ w_{ϕ} - w_{h} ‖_{H^{1}} . \end{aligned}

$\begin{aligned} (\phi,u-u_h) &= (\nabla w_\phi,\nabla (u-u_h))\\ &= (\nabla w_\phi-\nabla w_h,\nabla (u-u_h))\\ &\leq C \|u-u_h\|_{H^1}\|w_\phi-w_h\|_{H^1}. \end{aligned}$

w_{h}

$w_h$

w_{h}

$w_h$

\begin{matrix} (2) & ‖ u - u_{h} ‖_{L^{2}} = sup_{ϕ \in L^{2} ∖ {0}} \frac{(u - u_{h}, ϕ)}{‖ ϕ ‖_{L^{2}}} \leq C ‖ u - u_{h} ‖_{H^{1}} sup_{ϕ \in L^{2} ∖ {0}} \frac{inf_{w_{h}} ‖ w_{ϕ} - w_{h} ‖_{H^{1}}}{‖ ϕ ‖_{L^{2}}} . \end{matrix}

$\label{eq2}\tag{2} \|u-u_h\|_{L^2} = \sup_{\phi\in L^2\setminus\{0\}} \frac{(u-u_h,\phi)}{\|\phi\|_{L^2}} \leq C \|u-u_h\|_{H^1} \sup_{\phi\in L^2\setminus\{0\}} \frac{\inf_{w_h}\|w_\phi-w_h\|_{H^1}}{\|\phi\|_{L^2}}.$ Este es el Aubin-Nitsche-Lemma .

El siguiente paso es utilizar estimaciones de error estándar para la mejor aproximación de elementos finitos de soluciones a la ecuación de Poisson. Como solo está en , no obtenemos una estimación mejor que Pero afortunadamente, podemos usar el hecho de que tiene una mayor regularidad desde el lado derecho lugar de . En este caso, tenemos Insertar y en $u$ $H^1$

\begin{matrix} (3) & ‖ u - u_{h} ‖_{H^{1}} \leq inf_{v_{h}} ‖ u - v_{h} ‖_{H^{1}} \leq c ‖ u ‖_{H^{1}} \leq C ‖ f ‖_{H^{- 1}} . \end{matrix}

$\label{eq3}\tag{3} \|u-u_h\|_{H^1} \leq \inf_{v_h}\|u-v_h\|_{H^1} \leq c \|u\|_{H^1} \leq C \|f\|_{H^{-1}}.$

w_{ϕ}

$w_\phi$

ϕ \in L^{2}

$\phi\in L^2$

H^{- 1}

$H^{-1}$

\begin{matrix} (4) & inf_{w_{h}} ‖ w_{ϕ} - w_{h} ‖_{H^{1}} \leq c h ‖ w_{ϕ} ‖_{H^{2}} \leq C h ‖ ϕ ‖_{L^{2}} \end{matrix}

$\label{eq4}\tag{4} \inf_{w_h}\|w_\phi-w_h\|_{H^1} \leq c h \|w_\phi\|_{H^2} \leq C h \|\phi\|_{L^2}$

(3)

$\eqref{eq3}$

(4)

$\eqref{eq4}$

(2)

$\eqref{eq2}$ ahora produce la estimación deseada.

(Tenga en cuenta que las estimaciones estándar requieren que el grado polinómico de la aproximación de elementos finitos y el exponente de Sobolev de la solución verdadera satisfagan , por lo que este argumento no funciona para la aproximación constante por partes ( ). También hemos usado que , es decir, que tenemos una aproximación conforme , lo que no es cierto para las constantes por partes). $k$ $m$ $m<k+1$ $k=0$ $u-u_h\in H^1_0$

Como solicitó una referencia: puede encontrar una declaración (incluso para espacios negativos de Sobolev lugar de ) en el Teorema 5.8.3 (junto con el Teorema 5.4.8) en $H^{-s}$ $L^2$

Susanne C. Brenner y L. Ridgway Scott , MR 2373954 La teoría matemática de los métodos de elementos finitos , Textos en Matemática Aplicada ISBN: 978-0-387-75933-3.

— Christian Clason
fuente

Y puedo hacer uso de nuestra nueva y brillante función de citas :)

— Christian Clason

Gracias por su respuesta, pero las funciones continuas no están integradas en ¿ ?

H_{0}^{1}

$H^1_0$

— Bananach

Sí, lo siento, me fui, son densos, pero no incrustados. Sin embargo, el argumento de dualidad funciona igual (solo funciona con y directamente). Editaré mi respuesta en consecuencia.

H_{0}^{1}

$H^1_0$

H^{- 1}

$H^{-1}$

— Christian Clason

Gracias por la extensa actualización. Y por encontrar otra cita brillante

— Bananach

@Praveen No creo que necesites ninguna teoría aquí. Simple elija para ser constante cero.

v_{h}

$v_h$

— Bananach