Desventajas de los esquemas de discretización comunes para simulaciones CFD

El otro día, mi instructor de la dinámica de fluidos computacional estaba ausente y envió en su estudiante de doctorado a sustituirlo. En la conferencia que dio, que parecía indicar varias desventajas asociadas con diversos esquemas de discretización para simulaciones de flujo de fluidos:

Diferencia Finita Método: Es difícil satisfacer conservación y para solicitar geometrías irregulares

El volumen finito Método: Se tiende a estar sesgados hacia los bordes y la física de una sola dimensión.

Método de Elementos Finitos: Es difícil de resolver ecuaciones hiperbólicas utilizando FEM.

Galerkin discontinuo: Es el mejor (y lo peor) de los mundos.

La división de fluctuación: No son todavía ampliamente aplicable.

Después de la conferencia, lo intentado preguntar de dónde sacó esta información, pero no especificó cualquier fuente. También traté de conseguir que aclarar lo que quería decir con la DG ser el "mejor y el peor de todos los mundos", pero no pude conseguir una respuesta clara. Solo puedo suponer que llegó a estas conclusiones por su propia experiencia.

Desde mi propia experiencia, sólo puedo verifico la primera afirmación de que FDM es difícil de aplicar a geometrías irregulares. Para todos los demás reclamos, no tengo suficiente experiencia para verificarlos. Tengo curiosidad por cómo es exacto son estos 'inconvenientes' reclamados para las simulaciones CFD en general.

Las características propuestas son razonables en el sentido de que representan aproximadamente la opinión popular. Esta pregunta tiene un alcance masivo, por lo que solo haré algunas observaciones ahora. Puedo elaborar en respuesta a los comentarios. Para una discusión relacionada más detallada, vea ¿Cuáles son los criterios para elegir entre diferencias finitas y elementos finitos?

• Los métodos conservadores de diferencia finita de bajo orden están disponibles para redes no estructuradas. De alto orden no oscilatorios métodos FD son otra cosa. En los esquemas WENO de diferencias finitas, la física aparece en una división de flujo que no está disponible para todos los solucionadores de Riemann.

• Los métodos de volumen finito funcionan bien en múltiples dimensiones, pero para ir más alto que el segundo orden para estructuras de flujo generales, necesita puntos de cuadratura de cara extra y / o soluciones de Riemann transversales, lo que aumenta enormemente el costo en relación con los métodos FD. Sin embargo, estos métodos de FV pueden aplicarse a mallas no lisas y no estructuradas y pueden usar solucionadores arbitrarios de Riemann.

• Se pueden usar métodos continuos de elementos finitos para CFD, pero la estabilización se vuelve delicada. Por lo general, no es práctico tener métodos estrictamente no oscilatorios y la estabilización a menudo necesita información adicional como la entropía. Cuando se usa la matriz de masa consistente, el paso de tiempo explícito se vuelve mucho más costoso. Los métodos continuos de Galerkin no son localmente conservadores, lo que causa problemas para choques fuertes. Véase también ¿Por qué es importante la conservación local en la resolución de las PDE?

• métodos discontinua Galerkin pueden utilizar cualquier solucionador de Riemann a los elementos de conexión. Tienen mejor inherentes propiedades de estabilidad no lineal que los otros métodos comunes. DG también es bastante complicado de implementar y no es generalmente monótona dentro de un elemento. Hay limitadores para la DG que aseguren la positividad o un principio del máximo.

• Existen otros métodos como la diferencia espectral (por ejemplo, Wang et al. 2007 o Liang et al. 2009 ) que tienen el potencial de ser muy eficientes (como la diferencia finita), a la vez que tienen más flexibilidad geométrica y mayor precisión de orden.

Los altos flujos de números de Reynolds tienen capas límite delgadas, que requieren elementos altamente anisotrópicos para resolver de manera eficiente. Para los elementos incompresibles o casi incompresibles, esto causa problemas significativos para muchas discretización. Para una discusión adicional, principalmente desde la perspectiva de los métodos de elementos finitos, vea ¿Qué discretizaciones espaciales funcionan para el flujo incompresible con mallas de límite anisotrópicas?

Para los problemas de equilibrio, la capacidad de utilizar de manera eficiente multigrid no lineal (FAS) es atractiva. métodos FD, FV, y la DG pueden utilizar, generalmente FAS eficiente, ya que, en términos generales,

$$\frac{(\text{cost per pointwise residual}) \cdot (\text{number of points})}{\text{cost of global residual}} \lesssim 2 .$$

Esta relación es a menudo más de 10 para los métodos de elementos finitos continuos. Sin embargo, esta proporción no es suficiente para un FAS eficiente con suavizadores puntiagudos o de elementos. También es necesario tener una discretización elíptica para usar para la corrección de defectos, o modificar el ciclo de múltiples cuadrículas. Para una discusión más detallada , vea ¿Hay un algoritmo de cuadrícula múltiple que resuelva los problemas de Neumann y tenga una tasa de convergencia independiente del número de niveles? Una respuesta positiva a esta pregunta de investigación podría ofrecer un FAS eficiente para elementos finitos continuos.$h$

En resumen para la DG:

Una consecuencia de la relajación de los requisitos de continuidad a través de límites de los elementos es que el número de variables en DG-FEM es mayor que para la contraparte continua para el mismo número de elementos.

Por otra parte, debido a la formulación local (en términos de elementos) que tenemos siguientes ventajas:

• términos no estacionario y de la fuente están completamente desacoplados entre elementos. matrices de masa se pueden invertir a nivel de elemento.
• paralelización más fácil.
• refinamientos de adaptación (h-, p- y CV) se realizan fácilmente - no hay necesidad de volver a numerar nodo global.