Los ingenieros a menudo insisten en usar métodos localmente conservadores como el volumen finito, la diferencia finita conservadora o los métodos discontinuos de Galerkin para resolver PDEs.
¿Qué puede salir mal cuando se usa un método que no es localmente conservador?
Bien, entonces la conservación local es importante para las PDE hiperbólicas, ¿qué pasa con las PDE elípticas?
Respuestas:
En la solución de PDE hiperbólicas no lineales, aparecen discontinuidades ("choques") incluso cuando la condición inicial es suave. En presencia de discontinuidades, la noción de solución solo puede definirse en sentido débil. La velocidad numérica de un choque depende de las condiciones correctas de Rankine-Hugoniot que se impongan, lo que a su vez depende de satisfacer numéricamente la ley de conservación integral a nivel local. El teorema de Lax-Wendroff garantiza que un método numérico convergente convergerá a una solución débil de la ley de conservación hiperbólica solo si el método es conservador.
No solo necesita usar un método conservador, de hecho, necesita usar un método que conserve las cantidades correctas. Hay un buen ejemplo que explica esto en "Métodos de volumen finito para problemas hiperbólicos" de LeVeque, Sección 11.12 y Sección 12.9. Si discretiza la ecuación de Burgers
a través de la discretización constante
observará que los golpes se mueven a la velocidad incorrecta, sin importar cuánto refine la cuadrícula. Es decir, la solución numérica no convergerá a la solución verdadera . Si en cambio usa la discretización conservadora
basado en la diferencia de flujo, los choques se moverán a la velocidad correcta (que es el promedio de los estados a la izquierda y a la derecha del choque, para esta ecuación). Este ejemplo se ilustra en este cuaderno de IPython que escribí .
Para PDEs hiperbólicas lineales, y para otros tipos de PDE que típicamente tienen soluciones suaves, la conservación local no es un ingrediente necesario para la convergencia. Sin embargo, puede ser importante por otras razones (por ejemplo, si la masa total es una cantidad de interés).
Creo que una respuesta a su pregunta es que ciertas comunidades simplemente siempre usaron esquemas conservadores y, por lo tanto, se ha convertido en parte de "la forma en que se hace". Uno puede argumentar si esa es la mejor manera de hacerlo, pero eso es tan fructífero como pedirle a los británicos que conduzcan por la derecha porque simplemente sería más conveniente tener solo el lado estándar.
Muchas veces, las ecuaciones a resolver representan una ley de conservación física. Por ejemplo, las ecuaciones de Euler para la dinámica de fluidos son representaciones de la conservación de masa, momento y energía. Dado que la realidad subyacente que estamos modelando es conservadora, es ventajoso elegir métodos que también sean conservadores.
También puede ver algo similar con los campos electromagnéticos. Las leyes de Maxwell incluyen la condición libre de divergencia para el campo magnético, pero esa ecuación no siempre se usa para la evolución de los campos. Un método que conserva esta condición (por ejemplo: transporte restringido) ayuda a igualar la física de la realidad.
Editar: @hardmath señaló que olvidé abordar la parte de "qué podría salir mal" de la pregunta (¡Gracias!). La pregunta se refiere específicamente a los ingenieros, pero proporcionaré algunos ejemplos de mi propio campo (astrofísica) y espero que ayuden a ilustrar las ideas lo suficiente como para generalizar lo que podría salir mal en una aplicación de ingeniería.
(1) Al simular una supernova, tiene una dinámica de fluidos vinculada a una red de reacción nuclear (y otra física, pero lo ignoraremos). Muchas reacciones nucleares dependen en gran medida de la temperatura, que (en una aproximación de primer orden) es una medida de la energía. Si no conserva la energía, su temperatura será demasiado alta (en cuyo caso, sus reacciones serán demasiado rápidas e introducirá mucha más energía y obtendrá un escape que no debería existir) o demasiado baja (en cuyo caso sus reacciones corre demasiado lento y no puedes alimentar una supernova).
(2) Cuando se simulan estrellas binarias, debe reformular la ecuación de momento para conservar el momento angular. Si no conservas el momento angular, entonces tus estrellas no pueden orbitarse entre sí correctamente. Si obtienen un impulso angular adicional, se separan y dejan de interactuar correctamente. Si pierden impulso angular, se chocan entre sí. Problemas similares ocurren al simular discos estelares. La conservación del momento (lineal) es deseable, porque las leyes de la física conservan el momento lineal, pero a veces hay que abandonar el momento lineal y conservar el momento angular porque eso es más importante para el problema en cuestión.
Tengo que admitir que, a pesar de citar la condición libre de divergencia de los campos magnéticos, no estoy tan bien informado allí. Si no se mantiene la condición libre de divergencia, se pueden generar monopolos magnéticos (de los que no tenemos evidencia actualmente), pero no tengo ningún buen ejemplo de los problemas que podrían causar en una simulación.
Hoy me encuentro con una tesis El Esquema EMAC para Simulaciones Navier-Stokes, y Aplicación para Fluir Cuerpos Bluff Pasados y noto que la Sección 1.2 responde a la pregunta de OP, al menos parcialmente. Las partes relevantes son:
Se cree ampliamente en la comunidad de dinámica de fluidos computacional ( CFD ) que cuanto más física se incorpora a la discretización, más precisas y estables son las soluciones discretas, especialmente durante intervalos de tiempo más largos. N. Phillips en 1959 [42] construyó un ejemplo para la ecuación de vorticidad no lineal barotrópica (usando un esquema de diferencia finita), donde la integración a largo plazo de los términos de convección da como resultado una falla de las simulaciones numéricas para cualquier paso de tiempo. En [4] Arakawa demostró que se pueden evitar problemas de inestabilidad con la integración durante mucho tiempo si la energía cinética y la atrofia (en 2D) se conservan mediante un esquema de discretización. ... En 2004, Liu y Wang desarrollaron que conserva la helicidad y la energía para los flujos tridimensionales. En [35] , presentan un esquema de energía y preservación de la helicidad para los flujos axisimétricos. También muestran que su esquema de conservación dual elimina la necesidad de una gran viscosidad numérica no física. ...
… Se sabe desde hace décadas en CFD, que cuantas más cantidades físicas se conserven mediante un esquema de elementos finitos, más precisa será la predicción, especialmente durante los largos intervalos de tiempo. Por lo tanto, las soluciones proporcionadas por un esquema más preciso físicamente también son más relevantes físicamente. Si uno pudiera permitirse una malla completamente resuelta y un paso de tiempo infinitamente pequeño, se cree que todos los esquemas de elementos finitos utilizados comúnmente proporcionan las mismas soluciones numéricas. Sin embargo, en la práctica, uno no puede permitirse una malla totalmente resuelta en simulaciones 3D, especialmente para problemas dependientes del tiempo. Por ejemplo, en el capítulo 2 necesitamos 50-60 mil pasos de tiempo, donde cada paso de tiempo requiere resolver un sistema lineal disperso con 4 millones de incógnitas. Esto requirió 2-3 semanas de tiempo computacional con código altamente paralelo en 5 nodos con 24 núcleos cada uno.