¿Existe un algoritmo de cuadrícula múltiple que resuelva problemas de Neumann y tenga una tasa de convergencia independiente del número de niveles?

Los métodos de cuadrícula generalmente resuelven problemas de Dirichlet en niveles (por ejemplo, punto Jacobi o Gauss-Seidel). Cuando se utilizan métodos continuos de elementos finitos, es mucho menos costoso ensamblar pequeños problemas de Neumann que ensamblar pequeños problemas de Dirichlet. Los métodos de descomposición de dominio no superpuestos, como BDDC (como FETI-DP), pueden interpretarse como métodos de cuadrícula múltiple que resuelven problemas de Neumann "fijados" en los niveles. Desafortunadamente, el número de condición para BDDC multinivel se escala como

C {(1 + Iniciar sesión (\frac{H}{h}))}^{2 L}

$C \left(1 + \log \left(\frac{H}{h}\right)\right)^{2L}$

donde es el número de niveles y es la relación de engrosamiento. Por el contrario, el número de condición para métodos de cuadrícula múltiple con suavizadores basados en problemas de Dirichlet tiene un número de condición independiente de la cantidad de niveles. $L$ $H/h$

¿Hay alguna manera de resolver los problemas de Neumann "fijados" sin perder la independencia de nivel?

pde multigrid

— Jed Brown
fuente

Nota: esta es una pregunta de investigación abierta, publicada aquí como un desafío porque es una preocupación práctica que parece ser pasada por alto por muchos de los analistas que trabajan en esta área.

— Jed Brown

Es difícil decir cuál es exactamente el equivalente al bloque "Pinned Neumann" más suave en un contexto de múltiples cuadrículas, al menos si espera que tome el mismo papel que en el contexto DD. ¿Podría dar más detalles sobre lo que podría ser?

— Peter Brune

No estoy seguro de cuán diferente es esto de BDDC, y no se analiza muy a fondo, pero esto me pareció interesante cuando lo leí antes:

Un solucionador de Poisson multigrid paralelo para la simulación de fluidos en grandes redes

— celion
fuente

Este documento utiliza métodos de diferencia finita, para los cuales es natural construir problemas locales de Dirichlet. Utilizan un amortiguador Jacobi más suave (problemas de Dirichlet de un solo punto). Tiene poca memoria (común para esta clase de métodos) y utiliza una interpolación de cuadrícula escalonada (no típica). Puede ser un buen papel (no lo leí cuidadosamente), pero no tiene importancia para esta pregunta.

— Jed Brown