Gramática sensible al contexto para SAT?

Según un resultado clásico de Kuroda, la clase de complejidad NSPACE [ ]$n$ (también conocida como NLIN-SPACE) es precisamente la clase CSL de lenguajes sensibles al contexto . El problema de satisfacción SAT está en NSPACE [ ], ya que una suposición de tamaño lineal para una solución se puede verificar como máximo con una cantidad lineal de gastos generales para la contabilidad. Esto significa que SAT debe tener una gramática sensible al contexto (CSG).$n$

¿Alguien ha intentado proporcionar un CSG para SAT?

Me doy cuenta de que muchas preguntas relacionadas con CSL son indecidibles (por ejemplo, decidir si un CSG determinado genera el lenguaje vacío). Incluso dado un CSG para SAT, uno todavía tendría que superar el obstáculo de que decidir la membresía en el idioma dado por un CSG es PSPACE completo en general. Pero podría darse el caso de que el problema de la membresía para el CSG que define SAT está en NP, debido a alguna estructura especial del lenguaje. Reformulación, para abordar el comentario de MCH: Pero podría ser el caso de que el problema de membresía para el CSG que define SAT podría mostrarse en NP debido a alguna estructura especial de la gramática, y no porque ya sabemos que debe estar en NOTARIO PÚBLICO.

• S.-Y. Kuroda, Clases de idiomas y autómatas con límites lineales , Información y control 7 (2) 207–223, 1964. doi: 10.1016 / S0019-9958 (64) 90120-2

Aclaración:

El enfoque previsto aquí es la característica especial de la gramática para SAT que permite que sea reconocida por una máquina NTIME [poly ( )], en lugar del límite NSPACE [ n ] ⊆ DTIME [ 2 O ( n ) ].$n$$n$$\subseteq$$2^{O(n)}$

La prueba del Teorema 3 en el artículo de Landweber de 1963 construye un CSG a partir de un autómata lineal. (Kuroda proporcionó lo contrario, construyendo un autómata con límites lineales para cualquier CSG). Sin embargo, el procedimiento de Landweber no parece producir una gramática para SAT que sea de forma especial: todos los reconocedores NSPACE [ ] se tratan de la misma manera genérica. En otras palabras, no está claro por qué el SAT CSG debería tener un problema de membresía de NP, en lugar de ser PSPACE completo. Esperaba una construcción más explícita que use la NP-ness del SAT de alguna manera esencial.$n$

Quizás una pregunta mejor y más precisa es si:

1. existe un autómata lineal que reconoce SAT,
2. de donde se puede extraer un CSG,
3. para que el lenguaje definido por el CSG esté en NP debido a alguna característica de la gramática (y no porque ya sabemos que está en NP)?

En las cinco décadas transcurridas, ¡seguramente alguien ha tratado de hacer esto! Como no puedo encontrar nada publicado en este sentido, me interesaría entender por qué este enfoque no funcionó, o un puntero al trabajo que me he perdido.

• Peter S. Landweber, Tres teoremas sobre las gramáticas de estructura de frases de tipo 1 , Información y control 6 (2) 131–136, 1963. doi: 10.1016 / S0019-9958 (63) 90169-4

Aunque no está construyendo directamente una gramática sensible al contexto para SAT, el siguiente artículo podría arrojar algo de luz.

WC Rounds, Complejidad del reconocimiento en lenguajes de nivel intermedio , Switching and Automata Theory, 1973, 145-158 http://dx.doi.org/10.1109/SWAT.1973.5

El artículo de Rounds proporciona un autómata de pila no determinista unidireccional (1-NSA) que reconoce SAT, y luego muestra el problema de membresía de 1-NSA (y su superconjunto apropiado, la Gramática indexada de Aho) en general en NP. En otras palabras, SAT como un autómata CSL / linear-bounded es especial en el sentido de que usa su memoria solo como una pila.