Dureza del número cromático fraccionario aproximado en gráficos de grados acotados

¿Es difícil apx aproximar el número cromático fraccionario en gráficos de grados acotados?

— Ashwinkumar BV
fuente

¿Qué es el número cromático fraccional ?

— Mohammad Al-Turkistany

@ MohammadAl-Turkistany: relexión LP del número cromático, ver, por ejemplo, en.wikipedia.org/wiki/Fractional_coloring

— Jukka Suomela

Si.

Si entendí correctamente, la prueba del Teorema 1.6 en Khot (2001) establece que es NP-difícil distinguir entre los siguientes dos casos, incluso si nos centramos en gráficos de grado acotado de grado suficientemente alto:

Hay una coloración . $k$
La relación entre el número de vértices y el tamaño máximo de un conjunto independiente es al menos . $k^{\log(k)/25}$

Desde la perspectiva del número cromático fraccional, estos dos casos son:

El número cromático fraccional es como máximo . $k$
El número cromático fraccional es al menos . $k^{\log(k)/25}$

Ahora debemos recordar que necesitamos grados suficientemente altos (en función de ). Pero hasta donde puedo ver, la prueba tiene, por ejemplo, el siguiente corolario conveniente que podría ser suficiente para sus propósitos: $k$

Dado cualquier constante , no son constantes y de tal manera que el siguiente problema en NP-duro: dada una gráfica de grado máximo , debe decidir si el número cromática fraccionada de es como máximo o al menos . $\alpha$ $\Delta$ $c$ $G$ $\Delta$ $G$ $c$ $\alpha c$

Por supuesto, esto ya implica que no hay PTAS, a menos que P = NP.

— Jukka Suomela
fuente

Seguramente el último corolario tiene algunos otros modificadores en las constantes, de lo contrario, esto es muy conocido por los pequeños valores de , y ...

Δ

$\Delta$

c_{1}

$c_1$

c_{2}

$c_2$

— Andrew D. King

@ AndrewD.King: Correcto, puede hacer que cualquiera de ellos sea arbitrariamente grande, etc. Pero quizás podría publicar una respuesta que muestre que la versión simple del corolario se puede derivar usando técnicas más antiguas y fáciles, creo que ya sería suficiente para responder la pregunta de OP?

— Jukka Suomela

@JukkaSuomela Quiero decir que, como se dijo, esto no prueba la dureza APX. Por ejemplo, es bien conocido (Holyer, SICOMP, 1980) que determinar el índice cromático de un gráfico cúbico es NP-duro, lo que significa que es NP-difícil determinar si el número cromático de un gráfico lineal con un grado máximo 4 es o no. es 4. Lo que creo que quiere decir es: Dada cualquier constante , existen constantes , y tales que , ... ¿Es eso correcto?

k

$k$

Δ

$\Delta$

c_{1}

$c_1$

c_{2}

$c_2$

k c_{1} < c_{2}

$kc_1<c_2$

— Andrew D. King el

@ AndrewD.King: Sí, editaré la respuesta; con suerte tendrá más sentido de esa manera. :)

— Jukka Suomela