Existen varios problemas en la teoría de representación combinatoria y la geometría algebraica para los cuales no se conoce una fórmula positiva. Estoy pensando en varios ejemplos, pero permítanme tomar los coeficientes de cálculo de Kronecker como mi ejemplo. Por lo general, la noción de "fórmula positiva" no se define con precisión en la combinatoria, pero significa "una descripción como la cardinalidad de un conjunto razonablemente explícito". Recientemente, he estado hablando con Jonah Blasiak, y me ha estado convenciendo de que la definición correcta de "fórmula positiva" es #P . Asumiré que, en este sitio, no necesito definir #P.
Buergisser e Ikenmeyer muestran que los coeficientes de Kronecker son #P difíciles. (También son siempre positivos, porque son multiplicidades de productos tensoriales). Pero estoy razonablemente seguro de que nadie conoce una forma de calcularlos que incluso los coloque en #P.
Entonces, supongamos que realmente intentara probar que los coeficientes de Kronecker no están en #P. Supongo que lo que haría es asumir alguna conjetura teórica de complejidad y luego reducir el producto Kronecker a otro problema que se sabe que está completo para una clase mayor que #P.
¿Qué conjetura podría asumir y a qué problema podría intentar reducir?
AGREGADO: Como se ha señalado en los comentarios, Buergisser e Ikenmeyer muestran que los coeficientes de Kronecker están en Gap-P, que está bastante cerca de #P. Entonces, parece que las preguntas que debería hacer son: (1) ¿Cuáles son algunos problemas de Gap-P-complete que podría reducir y (2) cuáles son las perspectivas de demostrar que Gap-P no es #P? Supongo que (2) debería dividirse en dos partes (2a) ¿Los expertos creen que estas clases son diferentes? y (2b) ¿existen estrategias probables para probarlo?
Espero que esta edición de la pregunta no esté mal vista.