Multiplicar n polinomios de grado 1

El problema es calcular el polinomio . Suponga que todos los coeficientes caben en una palabra de máquina, es decir, pueden manipularse en unidades de tiempo. $(a_1 x + b_1) \times \cdots \times (a_n x + b_n)$

Puede hacer tiempo aplicando FFT en forma de árbol. ¿Puedes hacer ? $O(n \log^2 n)$ $O(n \log n)$

— Mihai
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Buena pregunta, parece que he visto algo similar en el blog de alguien, pero no puedo recordar dónde estaba.

— Grigory Yaroslavtsev

Observación menor: sabemos (trabajando sobre Q, por ejemplo) las n raíces , por lo que el problema es equivalente a: Dado , calcule el polinomio . (Supongo.)

α_{i} = - b_{i} / a_{i}

$\alpha_i = -b_i/a_i$

α_{1}, \dots, α_{n}

$\alpha_1, \dots , \alpha_n$

(x - α_{1}) \dots (x - α_{n})

$(x-\alpha_1)\dots(x-\alpha_n)$

— ShreevatsaR

¿Puedes dar una referencia al resultado ?

O (n \log^{2} n)

$O(n\log^2 n)$

— Mohammad Al-Turkistany

Como @Suresh mencionó, es un enfoque simple de divide y vencerás. Se puede generalizar para que n polys pueda tener diferentes grados , en cuyo caso se puede dividir en forma de árbol Huffman. Ver Strassen: La complejidad computacional de las fracciones continuas.

d_{i}

$d_i$

— Zeyu

¿Podemos calcular la convolución de vectores de dimensión constante 2 en el tiempo ?

n

$n$

O (n \log n)

$O(n \log n)$

— Kaveh

Advertencia: esta aún no es una respuesta completa. Si los argumentos de plausibilidad te incomodan, deja de leer.

Consideraré una variante donde queremos multiplicar (x - a_1) ... (x - a_n) sobre los números complejos.

El problema es dual para evaluar un polinomio en n puntos. Sabemos que esto se puede hacer de manera inteligente en O (n log n) cuando los puntos son la enésima raíz de la unidad. Esto aprovecha de manera esencial las simetrías de los polígonos regulares que subyacen a la Transformada rápida de Fourier. Esa transformación viene en dos formas, convencionalmente llamadas decimación en el tiempo y decimación en la frecuencia. En la raíz dos se basan en un par dual de simetrías de polígonos regulares de lados pares: la simetría entrelazada (un hexágono regular consiste en dos triángulos equiláteros entrelazados) y la simetría de despliegue del ventilador (corta un hexágono regular por la mitad y despliega las piezas como ventiladores en triángulos equiláteros).

Desde esta perspectiva, parece muy poco plausible que exista un algoritmo O (n log n) para un conjunto arbitrario de n puntos sin simetrías especiales. Implicaría que no hay nada algorítmicamente excepcional sobre los polígonos regulares en comparación con conjuntos aleatorios de puntos en el plano complejo.

— Por Vognsen
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Por otro lado, ¡un límite inferior para un problema tan natural parece igualmente inverosímil!

Ω (n \log^{2} n)

$\Omega(n\log^2 n)$

— Jeffε

¡Cierto! Desearía tener una respuesta más definitiva. Es muy interesante.

— Por Vognsen

¡Recompensa otorgada!

— Jeffε

@PerVognsen: ¿Puede dar una referencia para este punto de vista en relación con: simetrías de polígonos / simetría entrelazada? O si esto es una observación propia, ¿podría ampliarlo un poco más?

— Joshua Grochow