Bases de Gröbner en TCS?

¿Alguien sabe de aplicaciones interesantes de las bases de Gröbner a la informática teórica?

Las bases de Gröbner se utilizan para resolver ecuaciones polinómicas de múltiples variables, un problema NP-difícil en general. Me preguntaba si se usaron algunos casos especiales manejables para proporcionar algoritmos / construcciones / pruebas eficientes en TCS o áreas relacionadas con TCS (combinatoria, teoría de codificación).

El cálculo básico de Gröbner, mientras que EXPSPACE-complete en general, está en PSPACE sobre anillos booleanos. Esto tiene aplicaciones en la verificación de modelos para reemplazar BDD: Quoc-Nam Tran, "Un algoritmo PSPACE para la computación de bases de Groebner en anillos booleanos", Proc. WASET, vol. 35, noviembre de 2008, ISSN 2070-3740

[NOTA] El resultado que indica que el cálculo de la base de Groebner está en PSPACE sobre los anillos booleanos parece incorrecto, vea Mark van Hoeij, la base de Gröbner en los anillos booleanos no es P-SPACE , arXiv: 1502.07220 , 2015.

[NOTA] La afirmación de que el resultado que indica que el cálculo base de Groebner está en PSPACE sobre anillos booleanos parece incorrecto, es incorrecto. El autor confunde la computabilidad de PSPACE con tener un tamaño polinómico. Una función PSPACE puede tener una salida exponencialmente larga.

Hay un interesante volumen de Springer sobre aplicaciones de bases Gröbner en codificación y criptografía:

• Bases de Gröbner, codificación y criptografía , / Sala, M .; Mora, T .; Perret, L .; Sakata, S .; Traverso, C. (Eds.).

Personalmente, estoy investigando los algoritmos para calcular los ideales de los polinomios del localizador de errores (concepto bastante conocido en la teoría de la codificación, especialmente la decodificación del síndrome). En el caso de los códigos de los localizadores de errores de geometría algeraica, el ideal suele ser un ideal de polinomio de varias variables: ese es el lugar donde las bases de Gröbner juegan un papel central. En el volumen mencionado, la parte más interesante para mí es la descripción de S. Sakata del algoritmo BMS y un estudio de sus aplicaciones para decodificar códigos de geometría algebraica.

Acabo de escuchar durante el taller 8F

La prueba original de que la codificación de red se puede implementar en una red de flujo utiliza bases Gröbner.

Las bases de Gröbner se han aplicado a problemas de satisfacción de restricciones (consulte esta subvención ). En este punto, las técnicas básicas de Gröbner no parecen ser útiles para las aplicaciones de satisfacción de restricciones, ya que compiten con heurísticas de búsqueda maduras, técnicas de aplicación de coherencia y propagadores eficientes de propósito especial, sin mencionar buenos solucionadores SAT de propósito general. Sin embargo, creo que definitivamente hay usos teóricos que esperan ser descubiertos, específicamente cuando la base de Gröbner tiene un tamaño razonable. Véase también el documento de Jefferson, Jeavons, Green y van Dongen , presentado en MACIS 2007 (versión de la revista: AMAI 67 359–382, 2013, doi: 10.1007 / s10472-013-9365-7 ), que analiza algunos de los problemas .

Utilicé una base de Gröbner para ayudar a encontrar una pequeña prueba de un nuevo teorema de dicotomía para problemas #CSP en gráficos de 3 regulares con una única función de restricción binaria que tiene pesos complejos ( versión arXiv ).

$f \sim g$$\#\operatorname{CSP}(f) = \#\operatorname{CSP}(g)$

La base de Gröbner se utiliza para convertir de las cuatro variables iniciales necesarias para definir una función binaria a seis "variables simétricas" que son invariables en cada clase de equivalencia (consulte la sección D del documento vinculado anteriormente). Sin embargo, la base de Gröbner no se menciona en el documento ya que su único propósito era la transformación automatizada de las cuatro variables iniciales a las seis variables simétricas en varios polinomios (que fue realizada por GroebnerBasis de Mathematica ).

El siguiente documento puede verse como una sola aplicación.

• Gunnar Carlsson, Gurjeet Singh, Afra Zomorodian: Computing Multidimensional Persistence. Journal of Computational Geometry, 1 (1) 2010, páginas 72-100. http://jocg.org/index.php/jocg/article/view/19

Veo que los autores usan el algoritmo de Buchberger como una subrutina y explotan la estructura de su problema para demostrar que el tiempo de ejecución está polinómicamente limitado.

Grant Passmore y otros escriben sobre ellos en el contexto de los solucionadores SMT. No soy un experto en bases de Groebner ni en solucionadores de SMT, por lo que me resulta difícil evaluar qué tan bien esta referencia responde a su pregunta.

Como prueba de la complejidad , Clegg, Edmonds, Impagliazzo han propuesto el uso de bases Gröbner para refutar los CNF. Hay casos en los que este sistema de prueba supera exponencialmente la resolución, pero no me parece que haya una mejora real del rendimiento para las instancias generales.

$GF(2)$

Sin embargo, el cálculo polinómico no se ha estudiado tanto como la resolución, por lo tanto, no se dispone de heurísticas bien probadas.

Vea también esto para su aplicación en cryptanalysyis (no sé mucho sobre eso).

$k$$k$

Las bases Grobner se utilizan para los algoritmos de decodificación de listas más rápidos para los códigos Reed-Solomon: http://citeseerx.ist.psu.edu/viewdoc/download?doi=10.1.1.320.1170&rep=rep1&type=pdf

Las bases de Gröbner se han utilizado con éxito para resolver problemas importantes en la geometría de múltiples vistas en visión artificial .

Después de http://arxiv.org/pdf/1502.05912.pdf, a veces se utilizan bases grobner para decidir el isomorfismo (cuando los gráficos están codificados por sistemas de ecuaciones). Pero esto se une al uso de la base grobner para refutar CNFS.