Aprendizaje Quantum PAC

Antecedentes

Las funciones en son PAC que se pueden aprender en tiempo cuasipolinomial con un algoritmo clásico que requiere consultas elegidas al azar para aprender un circuito de profundidad d [1]. Si no hay un algoritmo de factorización , entonces esto es óptimo [2]. Por supuesto, en una computadora cuántica sabemos cómo factorizar, por lo que este límite inferior no ayuda. Además, el algoritmo clásico óptimo utiliza el espectro de Fourier de la función gritando "¡cuantifícame!"$AC^0$$O(2^{log(n)^{O(d)}})$$2^{n^{o(1)}}$

[1] N. Linial, Y. Mansour y N. Nisan. [1993] "Circuitos de profundidad constante, transformada de Fourier y capacidad de aprendizaje", Journal of the ACM 40 (3): 607-620.

[2] M. Kharitonov. [1993] "Dureza criptográfica del aprendizaje de distribución específica", Actas de ACM STOC'93, pp. 372-381.

De hecho, hace 6 años, Scott Aaronson puso la capacidad de aprendizaje de como uno de sus Diez Semi-Grandes Desafíos para la teoría de la computación cuántica .$AC^0$

Pregunta

Mi pregunta es triple:

1) ¿Hay ejemplos de familias de funciones naturales que las computadoras cuánticas pueden aprender más rápido que las computadoras clásicas dadas las suposiciones criptográficas?

2) ¿Ha habido algún progreso en la capacidad de aprendizaje de en particular? (o el poco más ambicioso )$AC^0$$TC^0$

3) Con respecto a la capacidad de aprendizaje de , Aaronson comenta: "entonces las computadoras cuánticas tendrían una enorme ventaja sobre las computadoras clásicas en el aprendizaje de pesos cercanos a los óptimos para redes neuronales". ¿Alguien puede proporcionar una referencia sobre cómo se relacionan la actualización de peso para redes neuronales y circuitos ? (aparte del hecho de que las puertas de umbral se parecen a las neuronas sigmoide)$TC^0$$TC^0$ (Esta pregunta se le preguntó y respondió ya )

Tomaré un tiro en su primera pregunta:

¿Hay ejemplos de familias de funciones naturales que las computadoras cuánticas pueden aprender más rápido que las computadoras clásicas dadas las suposiciones criptográficas?

Bueno, depende del modelo exacto y del recurso que se minimiza. Una opción es comparar la complejidad de la muestra (para el aprendizaje PAC independiente de la distribución) del modelo clásico estándar con un modelo cuántico que recibe muestras cuánticas (es decir, en lugar de recibir una entrada aleatoria y el valor de función correspondiente, se proporciona el algoritmo con una superposición cuántica sobre las entradas y sus valores de funciones). En este contexto, el aprendizaje PAC cuántico y el aprendizaje PAC clásico son básicamente equivalentes. El límite superior clásico en la complejidad de la muestra y el límite inferior cuántico en la complejidad de la muestra son casi iguales, como se muestra en la siguiente secuencia de documentos:

[1] R. Servedio y S. Gortler, "Equivalencias y separaciones entre la capacidad de aprendizaje clásica y cuántica", SIAM Journal on Computing, vol. 02138, págs. 1–26, 2004.

[2] A. Atici y R. Servedio, "Límites mejorados en los algoritmos de aprendizaje cuántico", Quantum Information Processing, págs. 1-18, 2005.

[3] C. Zhang, "Un límite inferior mejorado en la complejidad de la consulta para el aprendizaje cuántico PAC", Information Processing Letters, vol. 111, no. 1, págs. 40–45, diciembre de 2010.

Pasando a la complejidad del tiempo, utilizando el mismo modelo de PAC cuántico, Bshouty y Jackson demostraron que los DNF pueden ser PAC cuánticos aprendidos en el tiempo polinómico sobre la distribución uniforme [4], mejorados aún más en [5]. El algoritmo clásico más conocido para esto se ejecuta en tiempo . Atici y Servedio [6] también muestran mejores resultados para las juntas de aprendizaje y evaluación.$O(n^{\log n})$

[4] N. Bshouty y J. Jackson, "Aprendiendo DNF sobre la distribución uniforme usando un oráculo de ejemplo cuántico", SIAM Journal on Computing, vol. 28, no. 3, págs. 1136-1153, 1998.

[5] J. Jackson, C. Tamon y T. Yamakami, "Quantum DNF Learnability revisited," Computing and Combinatorics, págs. 595-604, 2002.

[6] A. Atıcı y R. Servedio, "Algoritmos cuánticos para el aprendizaje y la prueba de Juntas", Procesamiento de información cuántica, vol. 6, no. 5, págs. 323–348, septiembre de 2007.

Por otro lado, si está interesado únicamente en el modelo PAC clásico estándar, utilizando la computación cuántica como una herramienta de procesamiento posterior (es decir, sin muestras cuánticas), entonces Servedio y Gortler [1] observaron que existe una clase de concepto debido para Kearns y Valiant que no se puede aprender PAC clásico asumiendo la dureza de factorizar enteros Blum, pero se puede aprender PAC cuánticamente usando el algoritmo de Shor.

La situación del modelo de aprendizaje exacto de Angluin a través de consultas de membresía es algo similar. Las consultas cuánticas solo pueden dar una aceleración polinómica en términos de complejidad de la consulta. Sin embargo, hay una aceleración exponencial en la complejidad del tiempo suponiendo la existencia de funciones unidireccionales [1].

No tengo idea sobre la segunda pregunta. Me encantaría saber más sobre eso también.

Ciertamente, esta no es una respuesta completa a su pregunta, pero espero que ayude con la primera parte. Parece haber habido un gran interés en el uso de algoritmos cuánticos para identificar oráculos desconocidos. Un ejemplo de esto es un artículo reciente de Floess, Andersson e Hillery ( arXiv: 1006.1423 ) que adapta el algoritmo Bernstein-Vazirani para identificar funciones booleanas que dependen solo de un pequeño subconjunto de las variables de entrada (juntas). Usan este enfoque para determinar la función del oráculo para polinomios de bajo grado (abordan explícitamente casos lineales, cuadráticos y cúbicos).