¿Progreso en el problema generalizado de la altura de las estrellas?

La altura de estrella (generalizada) de un idioma es la anidación mínima de estrellas de Kleene requerida para representar el idioma mediante una expresión regular extendida. Recuerde que una expresión regular extendida sobre un alfabeto finito $A$ satisface lo siguiente:

(1) $\emptyset, 1$ y $a$ son expresiones regulares extendidas para todo $a\in A$

(2) Para todas las expresiones regulares extendidas $E,F$ ; , , y son expresiones regulares extendidas
$E\cup F$$EF$$E^*$$E^c$

Una formulación del problema de altura de estrella generalizada es si hay un algoritmo para calcular la altura de estrella generalizada mínima. Con respecto a este problema, tengo algunas preguntas.

1. ¿Ha habido algún progreso reciente (o interés de investigación) con respecto a este problema? Sé hace varios años que Pin Straubing y Thérien publicaron algunos artículos en esta área.

2. El problema restringido de la altura de la estrella fue resuelto en 1988 por Hashiguchi, pero la versión generalizada (que yo sepa) aún está abierta. ¿Alguien tiene alguna intuición de por qué este podría ser el caso?

Un enlace que puede ser útil es el siguiente: starheight

Con respecto a su segunda pregunta, una explicación de por qué el problema generalizado de la altura de la estrella es menos accesible que el problema de la altura de la estrella es la siguiente: Ya el artículo seminal de Eggan en 1963 contenía idiomas de altura de la estrella (ordinaria) , para cada k ≥ 0 . Solo unos años más tarde, McNaughton y, de forma independiente, Déjean y Schützenberger, encontraron ejemplos sobre alfabetos binarios. Esto dejó en claro de qué se trata el problema ". Durante los años que siguieron, hubo un flujo más o menos constante de resultados publicados en el área del problema ordinario de la altura de la estrella. Esto dio un cuerpo cada vez mayor de ejemplos publicados, contraejemplos y fenómenos que rodean este problema.$k$$k\ge 0$

Por el contrario, después de unos cincuenta años, no sabemos si hay algún lenguaje regular de altura de estrella al menos dos. Por lo tanto, ni siquiera sabemos si es necesario un procedimiento de decisión después de todo. Esta "falta total de ejemplos" indica que es extremadamente difícil controlar este problema.

Esta respuesta está dedicada a la memoria de Janusz (John) Antoni Brzozowski, quien falleció el 24 de octubre de 2019.

John es sin duda la persona que hizo tan famosos los problemas de altura de las estrellas. De hecho, en una conferencia en Santa Bárbara en diciembre de 1979, presentó una selección de seis problemas abiertos sobre los idiomas regulares y mencionó otros dos temas en la conclusión de su artículo [1]. Estos seis problemas abiertos fueron, en orden, la altura de la estrella, la altura restringida de la estrella, la complejidad del grupo, la eliminación de la estrella, la regularidad de las clases sin contar y la optimización de los códigos de prefijo. Los otros dos temas fueron el problema de la limitación y la jerarquía de profundidad de puntos.

En junio de 2015, durante una conferencia de un día en honor a su 80 cumpleaños , presenté dos artículos de encuesta que resumen el estado del arte en estas preguntas [2, 3]. En particular, encontrará en [2] información detallada sobre los problemas de altura de las estrellas.

[1] JA Brzozowski, Problemas abiertos sobre lenguajes regulares , en la teoría del lenguaje formal. Perspectivas y problemas abiertos, Actas de un simposio celebrado en Santa Bárbara, California, del 10 al 14 de diciembre de 1979 [, RV Book (ed.), Pp. 23–47, New York Etc .: Academic Press, una subsidiaria de Harcourt Brace Jovanovich, Editores. XIII, 454 p., 1980.

[2] J.-É. Pin, Problemas abiertos sobre idiomas regulares, 35 años después , Stavros Konstantinidis; Nelma Moreira; Rogério Reis; Jeffrey Shallit. El papel de la teoría en ciencias de la computación: ensayos dedicados a Janusz Brzozowski, World Scientific, 2017,

[3] J.-É. Pin, La jerarquía de profundidad de puntos, 45 años después . Stavros Konstantinidis; Nelma Moreira; Rogério Reis; Jeffrey Shallit. El papel de la teoría en informática: ensayos dedicados a Janusz Brzozowski, World Scientific, 2017.

La solución del problema restringido de altura estelar inspiró la rica teoría de las funciones de costo regular (por Colcombet), que a su vez ayudó a resolver otros problemas de capacidad de decisión y ofrece nuevas herramientas para atacar problemas abiertos. Esta teoría aún se está desarrollando y se extendió a palabras infinitas, árboles finitos, árboles infinitos, con su propio conjunto de resultados profundos y problemas abiertos. Aquí hay un artículo seminal de la teoría, y una bibliografía , del sitio web de Colcombet.

Entonces, aunque no es directamente una aplicación de altura de estrella generalizada, muestra que progresar en problemas aparentemente inútiles como la altura de estrella probablemente signifique una mejor comprensión de los idiomas regulares y arroje nuevos resultados en diferentes problemas.

Referencia: Thomas Colcombet. "La teoría de los monoides de estabilización y las funciones de costo regular". En: ICALP 2009