¿Cuál es el algoritmo más rápido para calcular el rango de una matriz rectangular?

Dada una matriz $m \times n$ (suponiendo que $m \ge n$ ), ¿cuál es el algoritmo más rápido para calcular su rango y base de las columnas?

Soy consciente de que se puede resolver a través de la intersección matroide lineal, lo que implica un algoritmo determinista de tiempo y un algoritmo aleatorio de tiempo O ( m n ω - 1 ) . ¿Existe un algoritmo determinista de tiempo O ( m n ω - 1 ) que reduzca más directamente el problema (o la eliminación gaussiana) a la multiplicación de matrices?$O(mn^{1.62})$$O(mn^{\omega-1})$$O(mn^{\omega-1})$

Puede traer una matriz de en forma escalonada en el tiempo O ( n ω + ϵ ) para cualquier ϵ > 0 . Ver el libro "Teoría de la complejidad algebraica" de Bürgisser, Clausen, Shokrollahi, Sección 16.5.$2n \times n$$O(n^{\omega + \epsilon})$$\epsilon > 0$

Ahora aplica este procedimiento veces a su matriz m × n . Esto proporciona un algoritmo con operaciones aritméticas O ( m n ω - 1 ) .$m/n$$m \times n$$O(mn^{\omega-1})$

Si trae una matriz de en forma escalonada, entonces contiene una matriz cero de tamaño n × n después. Usted toma la matriz n × n restante, agrega un nuevo bloque n × n de su matriz de entrada y lo lleva a la forma escalonada y así sucesivamente.$2n \times n$$n \times n$$n \times n$$n \times n$

Podemos calcular el rango de una $m \times n$ matriz A en $\tilde{O}(\textrm{nnz}(A) + r^{\omega})$ tiempo, donde $\textrm{nnz}(A)$ es el número de no-cero entradas en $A$ y $r$ es el rango de $A$ . Esto se desprende del Teorema 1.1 en Cheung et. Alabama. [CKL'13] y búsqueda binaria sobre $r$ . Esto es más rápido que el algoritmo $O(mn^{\omega-1})$ mencionado anteriormente.