¿Es este lenguaje reconocible por un TM de 3 símbolos en O (n log n)?

Estaba jugando con la muy interesante y abierta pregunta " Alfabeto de la máquina de Turing de una sola cinta " (por Emanuele Viola) y se me ocurrió el siguiente idioma:

$L = \{ x \in \{0,1\}^n \text{ s.t. } |x| = n = 2^m \text{ and } count1(x) = k * m; \; n,m,k \geq 1 \}$

donde es el número de s en la cadena x. $count1(x)$ $1$

Por ejemplo, si x = 01101111 entonces n = 8, m = 3, k = 2; entonces $x \in L$

¿Puede L ser reconocido por una máquina de Turing con una sola cinta y un alfabeto de 3 símbolos en pasos? $\{ \epsilon, 0, 1 \}$ $O(n \log{n})$

Si usamos 4 símbolos, la respuesta es sí:

compruebe si reemplaza s con y s con y al mismo tiempo almacene s a la derecha; $|x|=2^m$ $0$ $\epsilon$ $1$ $2$ $m$ $1$
luego cuente el número de s módulo en . $2$ $m$ $O(n \log{n})$

Por ejemplo:

....01101111....... input x  (|x| = 8 = 2^3)
000.021.1212.0001.. div 2, first sweep (000. can safely be used as a delimiter)
000.022.1222.00011. div 2, second sweep
000.022.2222.000111 div 2, third sweep --> m = 3 (= log(n) )
000..22.2222....111 cleanup (original 1s are preserved as 2)
000..22.2221102.... start modulo m=3 calculation
000..22.2210022.... mod 3 = 2
000..22.2000222.... mod 3 = 0
000..22.0012222.... mod 3 = 1
000..20112.2222.... mod 3 = 2
000..11122.2222.... ACCEPT

cc.complexity-theory turing-machines time-complexity

— Marzio De Biasi
fuente

Si es el número natural representado por que es siempre igual a y entonces ?

| x | = n = 2^{m}

$\vert x \vert = n = 2^m$

x

$x$

c o u n t 1 (x)

$count1(x)$

1

$1$

L = {10}

$L = \lbrace 10 \rbrace$

— Marc Bury

Lo siento | x | significa longitud de la cuerda x. Un ejemplo: x = 01101111, n = 8, m = 3, k = 2, y por lo tanto

x \in L

$x \in L$

— Marzio De Biasi

Por cierto, este es un excelente candidato para la pregunta de Emanuele, ya que está en : no es regular por el lema de bombeo, por lo que no puede ser , pero es .

Θ (n \log n)

$\Theta(n \log n)$

o (n \log n)

$o(n \log n)$

O (n \log n)

$O(n \log n)$

— Joshua Grochow

¿No puede usar la misma idea que tiene para el caso de 4 símbolos , con las siguientes modificaciones:

Siempre procese un par de símbolos simultáneamente.
En sus barridos "div 2", marque un bloque de dos símbolos como "procesado" asignando . Todavía tiene disponible como un "separador" que puede usar en ambos extremos, y puede recuperar los datos originales fácilmente. $(00, 01, 10, 11) \mapsto (\epsilon0, \epsilon1, 0\epsilon, 1\epsilon)$ $\epsilon\epsilon$
Use un truco similar para los pasos "mod 2".

En general, puede exprimir una cantidad arbitrariamente grande de información de contabilidad con la ayuda del tercer símbolo procesando los símbolos a la vez. $O(1)$

— Jukka Suomela
fuente

¡Tienes razón! ... ahora sospecho que la respuesta a la pregunta de Emanuele es sí ... pero todavía está abierta, así que probablemente no sea demasiado fácil demostrarlo formalmente :-( ¡Gracias!

— Marzio De Biasi