¿Calcular la suma de polinomios dispersos al cuadrado en el tiempo O (n log n)?

Supongamos que tenemos polinomios $p_1,...,p_m$ de grado como máximo $n$ , $n>m$ , de modo que el número total de coeficientes distintos de cero es $n$ (es decir, los polinomios son escasos). Estoy interesado en un algoritmo eficiente para calcular el polinomio:

Como este polinomio tiene un grado máximo de $2n$ , tanto el tamaño de entrada como el de salida es $O(n)$ . En el caso $m=1$ , podemos calcular el resultado usando FFT en el tiempo $O(n \log n)$ . ¿Se puede hacer esto para cualquier $m<n$ ? Si hace alguna diferencia, estoy interesado en el caso especial donde los coeficientes son 0 y 1, y el cálculo debe hacerse sobre los enteros.

Actualizar. Me di cuenta de que una solución rápida para lo anterior implicaría avances en la multiplicación rápida de matrices. En particular, si $p_k(x)=\sum_{i=1}^n a_{ik} x^i + \sum_{j=1}^n b_{kj} x^{nj}$ entonces puede leer $a_{ik} b_{kj}$ como el coeficiente de $x^{i+nj}$ en $p_k(x)^2$ . Por lo tanto, calcular$p_k(x)^2$ corresponde a calcular un producto externo de dos vectores, y calcular la suma$\sum_k p_k(x)^2$ corresponde a calcular un producto matricial. Si hay una solución usando el tiempo$f(n,m)$ para calcular$\sum_k p_k(x)^2$ entonces podemos multiplicar dosmatrices$n$ -by-$n$ en el tiempo , lo que significa que f ( n , m ) = O ( n log n ) para m ≤ n requeriría un avance importante. Pero f ( n , m ) = n ω / 2 , donde ω es el exponente actual de la multiplicación de matrices, podría ser posible. Ideas, alguien?$f(n^2,n)$$f(n,m)=O(n\log n)$$m\leq n$$f(n,m)=n^{\omega/2}$$\omega$

La cuadratura de un polinomio con coeficientes distintos de cero lleva tiempo O ( x 2 i ) usando la multiplicación ordinaria término por término, por lo que debería preferirse a la FFT para aquellos polinomios donde x i < $x_i$$O(x_i^2)$ . Si∑ixi=n, entonces el número de polinomios conximayor que$x_i < \sqrt{n \log n}$$\sum_i x_i = n$$x_i$ esO($\sqrt{n \log n}$, y estos tomarán tiempoO(n 3 / 2 (logn) 1 / 2 )de la plaza y combinar (al igual que los polinomios restantes). Esta es una mejora sobre el obvioO(mnlogn)vinculado cuandomesΘ($O(\sqrt{n / \log n})$$O(n^{3/2}({\log n})^{1/2})$$O(m n \log n)$$m$.$\Theta(\sqrt{n / \log n})$

No es una respuesta completa pero puede ser útil.

Advertencia: solo funciona bien si los soportes del son pequeños.$p_i^2$

Para un polinomio , que S q = { i ∣ a i ≠ 0 } sea ​​su soporte y s q = | S q | Ser del tamaño del soporte. La mayoría de los p i serán escasos, es decir, tendrán un pequeño soporte.$q = a_0 + a_1x + \dots +a_nx^n$$S_q = \{i \mid a_i \not= 0\}$$s_q = |S_q|$$p_i$

Hay algoritmos para multiplicar polinomios dispersos y b en tiempo cuasi lineal en el tamaño del soporte del producto a b , consulte, por ejemplo, http://arxiv.org/abs/0901.4323$a$$b$$a b$

El soporte de está (contenido en) S a + S b , donde la suma de dos conjuntos S y T se define como S + T : = { s + t ∣ s ∈ S , t ∈ T } . Si los soportes de todos los productos son pequeños, digamos, lineales en n en total, entonces uno puede calcular los productos y sumar todos los monomios.$ab$$S_a + S_b$$S$$T$$S + T := \{s + t \mid s \in S, t \in T\}$$n$

Sin embargo, es muy fácil encontrar polinomios y b de tal manera que el tamaño del soporte de a b sea ​​cuadrático en los tamaños del soporte de a y b . En esta aplicación en particular, estamos cuadrando polinomios. Así que la pregunta es cuánto más grande S + S en comparación con S . La medida habitual para esto es el número de duplicación | S + S | / | S | . Hay conjuntos con un número de duplicación ilimitado. Pero si puede excluir conjuntos con un gran número de duplicación como soportes de la p $a$$b$$ab$$a$$b$$S + S$$S$$|S + S|/|S|$$p_i$, entonces puede obtener un algoritmo rápido para su problema.

Solo quería notar el algoritmo de aproximación natural. Sin embargo, esto no aprovecha la escasez.

$(\sigma_i)_{i\in[n]}$$X=\sum_i \sigma_i p_i(x)$$X^2$$n\log n$ time using FFT. Then $EX^2 = \sum_i p_i(x)^2 = S$ and $\sqrt{VX^2} = O(S)$. So you can get a $1+\varepsilon$ approximation in time $O(\varepsilon^{-2} n \log n )$.