Comprimir información sobre el problema de detención de las máquinas Oracle Turing

Es bien sabido que el problema de detención es indiscutible. Sin embargo, es posible "comprimir" exponencialmente la información sobre el problema de detención, de modo que descomprimirla sea computable.

Más precisamente, es posible calcular a partir de una descripción de máquinas de Turing y un consejo de n bits que indica la respuesta al problema de detención para las 2 n - 1 de las máquinas de Turing, suponiendo que el estado de asesoramiento sea confiable. Deje que nuestro asesor elija los bits para describir cuántas de las máquinas de Turing se detienen en binario, espere hasta que se detengan y genere que el resto no se detenga.$2^{n}-1$$n$$2^{n}-1$

Este argumento es una variante simple de la prueba de que la constante de Chaitin puede usarse para resolver el problema de detención. Lo que me sorprendió es que es agudo. No hay ningún mapa computables a partir de una descripción de Turing máquinas y un n -bit estados asesoramiento a 2 n bits de salida de detención que obtiene la respuesta correcta, para cada tupla de la máquina de Turing, por alguna tupla de bits. Si lo hubiera, podríamos producir un contraejemplo diagonalizando, con cada una de las 2 n máquinas de Turing simulando lo que hace el programa en una de las 2 n posibles disposiciones de los n bits y luego eligiendo su propio estado de detención para violar la predicción.$2^n$$n$$2^n$$2^n$$2^n$$n$

No es posible comprimir información sobre el problema de detención para las máquinas Turing con un oráculo de detención (sin acceso a algún tipo de oráculo). Las máquinas pueden simular lo que predice en todas las entradas posibles, ignorando las que no detiene y eligiendo sus tiempos de detención para dar la primera respuesta lexicográfica que no predijo en ninguna entrada.

Esto me motivó a pensar en lo que sucede con otros oráculos:

¿Hay algún ejemplo de un oráculo donde el problema de detención para las máquinas de Turing con ese oráculo se pueda comprimir a una tasa de crecimiento intermedia entre lineal y exponencial?

$f(n)$$m$$m$$n$$m$$m$$n$$m$$1$$0$

$n<f(n)<2^{n}-1$$\omega(n)=f(n)=o(2^n)$

$J^A(e)$$e$$A$$e$$J$$J^A(e)$

$A$$h:\mathbb N\to\mathbb N$$e$$J^A(e)\in T_e$$(T_e)_{e\in\mathbb N}$$|T_e|\le h(e)$$e$

$f^A(k,n)=$$n$$k$$0,\dots,n-1$$k$$f^A(k,n)$

$f^A$$A$$g$$f^A(k,n)=J^A(g(k,n))$

$n$$A$$h(e)$$T_e$$e=g(k,n)$$k$

$h$$A$

Es un candidato razonablemente bueno en el sentido de que tenemos una dirección (el límite superior en la tasa de crecimiento) y que, probablemente, el método por el cual obtuvimos el límite superior no proporciona un límite superior mucho más pequeño que ese.