Teorema de Adleman sobre infinitas semirrelaciones?

Adleman ha demostrado en 1978 que $\mathrm{BPP}\subseteq \mathrm{P/poly}$ : si una función booleana $f$ de $n$ variables puede calcularse mediante un circuito booleano probabilístico de tamaño $M$ , entonces $f$ también puede calcularse mediante un circuito booleano determinista de tamaño polinomio en $M$ y $n$ ; en realidad, de tamaño $O(nM)$ .

Pregunta general: ¿Sobre qué otros semirrelaciones (además de booleanas) tiene $\mathrm{BPP}\subseteq \mathrm{P/poly}$ ?

Para ser un poco más específico, un circuito probabilístico $\mathsf{C}$ sobre un semiring $(S,+,\cdot,0,1)$ utiliza sus operaciones de "suma" $(+)$ y "multiplicación" $(\cdot)$ como puertas. Las entradas son variables de entrada $x_1,\ldots,x_n$ y, posiblemente, algún número de variables aleatorias adicionales, que toman los valores $0$ y $1$ de forma independiente con una probabilidad de $1/2$ ; aquí y 1 son, respectivamente, las identidades aditiva y multiplicativa del semiring. Tal circuito de un C calculauna función dada f : S n → S si para cada x ∈ S n , P r [ C ( x ) = f ( x ) ] ≥ 2 / 3 . $0$$1$$\mathsf{C}$ $f:S^n\to S$$x\in S^n$$\mathrm{Pr}[\mathsf{C}(x)=f(x)]\geq 2/3$

La función de votación de m variables es una función parcial cuyo valor es y si el elemento y aparece más de m / 2 veces entre los y 1 , ... , y m , y no está definido , si no existe tal elemento y . Una aplicación simple de los límites de Chernoff y union produce lo siguiente.$\mathrm{Maj}(y_1,\ldots,y_m)$$m$$y$$y$$m/2$$y_1,\ldots,y_m$$y$

Truco mayoritario: si un circuito probabilístico calcula una función f : S n → S en un conjunto finito X ⊆ S n , entonces hay m = O ( log | X | ) realizaciones C 1 , ... , C m de C de tal manera que f ( x ) = M a j ( C 1 ( x ) , $\mathsf{C}$$f:S^n\to S$$X\subseteq S^n$$m=O(\log|X|)$$C_1,\ldots,C_m$$\mathsf{C}$ se mantiene para todo x ∈ X . $f(x)=\mathrm{Maj}(C_1(x),\ldots,C_m(x))$$x\in X$

Durante el semiseño booleano, la función de votación es la función mayoritaria y tiene circuitos pequeños (incluso monótonos). Entonces, el teorema de Adleman sigue tomando X = { 0 , 1 } n . $\mathrm{Maj}$$X=\{0,1\}^n$

Pero, ¿qué pasa con otros semirrelaciones (especialmente infinitas)? ¿Qué pasa con el semiring aritmético (con la suma y multiplicación habitual)?$(\mathbb{N},+,\cdot,0,1)$

Pregunta 1: ¿ aferra al semirremolque aritmético? $\mathrm{BPP}\subseteq \mathrm{P/poly}$

Aunque apuesto por "sí", no puedo mostrar esto.

Observación: Conozco este artículo donde los autores afirman sobre el campo real ( R , + , ⋅ , 0 , 1 ) . Tratan con circuitos aritméticos no monótonos y también llegan (en el Teorema 4) a circuitos con la función de votación M a j como puerta de salida. Pero, ¿cómo simular esta puerta M a j mediante un circuito aritmético (sea monótono o no)? Es decir, ¿cómo obtener su Corolario 3?$\mathrm{BPP}\subseteq \mathrm{P/poly}$$(\mathbb{R},+,\cdot,0,1)$$\mathrm{Maj}$$\mathrm{Maj}$

En realidad, el siguiente argumento simple que me contó Sergey Gashkov (de la Universidad de Moscú) parece mostrar que esto es imposible (al menos para los circuitos capaces de calcular solo polinomios ). Supongamos que podemos expresar como un polinomio f ( x , y , z ) = a x + b y + c z + h ( x , y , z ) . Entonces f $\mathrm{Maj}(x,y,z)$$f(x,y,z)=ax+by+cz+ h(x,y,z)$ implica c = 0 , f ( x , y , x ) = x implica b = 0 , yf ( x , y , y ) = y implica a = 0 . Esto es válido porque, sobre campos de característica cero, la igualdad de funciones polinómicas significa igualdad de coeficientes. Tenga en cuenta que en la Pregunta 1, el rango de los circuitos probabilísticos y, por lo tanto, el dominio de la$f(x,x,z)=x$$c=0$$f(x,y,x)=x$$b=0$$f(x,y,y)=y$$a=0$ puerta j esinfinita. Por lo tanto, tengo la impresión de que el trabajo vinculado solo trata con funciones de cálculo de circuitos aritméticos f : R n → Y con rangos finitos pequeños Y , como Y = { 0 , 1 } . Entonces M a j : Y m → Y es realmente fácil de calcular mediante un circuito aritmético. Pero, ¿y si Y = R ? $\mathrm{Maj}$$f:\mathbb{R}^n\to Y$$Y$$Y=\{0,1\}$$\mathrm{Maj}:Y^m\to Y$$Y=\mathbb{R}$

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Corrección [6.03.2017]: Pascal Koiran (uno de los autores de este artículo) me señaló que su modelo es más poderoso que solo los circuitos aritméticos: permiten puertas de señal (con salida o 1 dependiendo de si la entrada es negativa de no). Entonces, la función de votación Maj se puede simular en este modelo, y retomo mi "confusión".$0$$1$

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En el contexto de la programación dinámica, es especialmente interesante la misma pregunta para semirreferencias tropicales min-plus y max-plus y ( N ∪ { - ∞ } , max , + , - ∞ , 0 ) .$(\mathbb{N}\cup\{+\infty\}, \min, +, +\infty,0)$$(\mathbb{N}\cup\{-\infty\}, \max, +, -\infty,0)$

Pregunta 2: ¿El control sobre semirings tropicales? $\mathrm{BPP}\subseteq \mathrm{P/poly}$

Celebrada en estos dos semirrelaciones, esto significaría que la aleatoriedad no puede acelerar los llamados algoritmos de programación dinámica "puros". Estos algoritmos solo usan operaciones Min / Max y Sum en sus recursiones; Bellman-Ford, Floyd-Warshall, Held-Karp y muchos otros algoritmos DP prominentes son puros. $\mathrm{BPP}\subseteq \mathrm{P/poly}$

Hasta ahora, solo puedo responder la pregunta 2 (afirmativamente) en el escenario de error unilateral , cuando adicionalmente requerimos durante el min-plus semiring (minimización), o P r [ C ( x ) > f ( x ) ] = $\mathrm{Pr}[\mathsf{C}(x) < f(x)]=0$$\mathrm{Pr}[\mathsf{C}(x) > f(x)]=0$sobre el semi-max-plus (maximización). Es decir, ahora requerimos que el circuito tropical aleatorizado nunca pueda producir un valor mejor que el óptimo; sin embargo, puede equivocarse al dar algunos valores peores que óptimos. Sin embargo, mis preguntas están bajo el escenario de error de dos lados .

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PD [agregado el 27.02.2017]: Aquí está mi intento de responder la Pregunta 1 (afirmativamente). La idea es combinar una versión más simple del "Nullstellensatz combinatorio" con una estimación del problema de Zarankiewicz para hipergraps n-partitos, debido a Erdos y Spencer. Módulo este último resultado, todo el argumento es elemental.

Tenga en cuenta que la pregunta 2 aún permanece abierta: el "ingenuo Nullstellensatz" (al menos en la forma que usé) no se mantiene en semirremolques tropicales.

Esta es solo una respuesta parcial a su pregunta general (no estoy seguro de cuál sería una formulación totalmente general), pero sugiere que trabajar sobre semirrelaciones infinitas suficientemente agradables al tiempo que restringe la aleatoriedad a un dominio finito en realidad podría trivializar la pregunta de si El teorema de Adleman es válido.

$\mathbb{C}$$f$$x$$r$$C(x,r) = f(x)$$r$$x$$C(x,r) = f(x)$$\mathbb{C}^n$, and so must be all of $\mathbb{C}^n$, or else a subset of measure zero. If all of these sets were to have measure zero, then, because there are only finitely many $r$'s in consideration, the set of $x$ where $\exists r : C(x,r) = f(x)$ would also have measure zero. On the other hand, the assumption that $C$ computes $f$ implies this that set must be all of $\mathbb{C}^n$, so it cannot have measure zero.