(Cómo) ¿Podríamos descubrir / analizar problemas de NP en ausencia del modelo de cómputo de Turing?

Desde un punto de vista puramente abstracto de razonamiento matemático / computacional, ¿cómo podría uno incluso descubrir o razonar sobre problemas como 3-SAT, Subset Sum, Travelling Salesman, etc.? Estaríamos incluso capaz de razonar sobre ellas de una manera significativa con sólo la funcionalidad punto de vista? ¿Sería posible?

He estado reflexionando sobre esta cuestión únicamente desde un punto de auto indagación como parte del aprendizaje del modelo de cálculo de cálculo lambda. Entiendo que es "no intuitivo" y por eso Godel favoreció el modelo de Turing. Sin embargo, solo deseo saber cuáles son las limitaciones teóricas conocidas de este estilo funcional de cómputo y cuánto obstáculo sería para analizar la clase de problemas NP.

Es posible que desee ver la semántica de costos para lenguajes funcionales . Estas son varias medidas de complejidad computacional para lenguajes funcionales que no pasan por ningún tipo de máquina Turing, máquina RAM, etc. Un buen lugar para comenzar a buscar es esta publicación de Lambda the Ultimate , que tiene algunas buenas referencias adicionales.

La Sección 7.4 de los Fundamentos prácticos para lenguajes de programación de Bob Harper explica la semántica de costos.

El documento sobre la utilidad relativa de las bolas de fuego por Accattoli y Coen muestra que el cálculo tiene como máximo una explosión lineal con respecto al modelo de máquina RAM.$\lambda$

En resumen, en este otro planeta las cosas serían más o menos lo mismo con respecto a NP, pero habría menos desbordamientos de búfer y no habría tanta basura por ahí.

A petición de Andrej y PhD, estoy convirtiendo mi comentario en una respuesta, con disculpas por la publicidad propia.

Recientemente escribí un artículo en el que miro cómo probar el teorema de Cook-Levin ( -completitud del SAT) usando un lenguaje funcional (una variante del cálculo λ) en lugar de las máquinas de Turing. Un resumen:$\mathsf{NP}$

• la noción clave es la de aproximaciones afines, es decir, aproximación de programas arbitrarios por afines (que pueden usar sus entradas como máximo una vez); la intuición es que λ tan afines -términosλaproximan cálculos arbitrarios arbitrarios al igual que los circuitos booleanos; $$\frac{\text{Boolean circuits}}{\text{Turing machines}}=\frac{\text{affine $\lambda$-terms}}{\text{$\lambda$-terms}}$$ $\lambda$
• El resultado es que, en el mundo del cálculo , la prueba es mucho más "nivel superior", utiliza la teoría del orden, la continuidad de Scott, etc. en lugar de piratear circuitos booleanos; en particular, el eslogan "el cálculo es local" (que muchos dan como mensaje subyacente al teorema de Cook-Levin) se convierte en "el cálculo es continuo", como se esperaba;$\lambda$
• sin embargo, el problema "natural" completo no es CIRCUIT SAT sino HO CIRCUIT SAT, una especie de "resolubilidad" de términos lineales λ o, más precisamente, redes lineales a prueba de lógica (que son como circuitos booleanos de orden superior) ;$\mathsf{NP}$
• por supuesto, uno puede reducir HO CIRCUIT SAT a CIRCUIT SAT, lo que demuestra el teorema usual de Cook-Levin, y los detalles sangrientos de bajo nivel se mueven para construir tal reducción.

$\mathsf{NP}$

$\lambda$$\lambda$

$\mathsf{NP}$

$\lambda$

$\lambda$

$\mathsf{NP}$$\mathsf{NP}$$\mathsf{coNP}$$\lambda$

$\lambda$$\lambda$

$\mathsf{NP}$$\lambda$, realmente no importa si sabes que tus intuiciones son sólidas. Las máquinas de Turing dieron una respuesta inmediata y viable, y la gente no sintió (y aún no siente) la necesidad de ir más allá.