Evaluación de polinomios simétricos

Sea un polinomio simétrico , es decir, un polinomio tal que f ( x ) = f ( σ ( x ) ) para todas las x ∈ K n y todas las permutaciones σ ∈ S n . Por conveniencia, podemos suponer que K es un campo finito, para evitar abordar problemas con el modelo de computación.$f:\mathbb{K}^n \to \mathbb{K}$$f(x)=f(\sigma(x))$$x \in \mathbb{K}^n$$\sigma \in S_n$$\mathbb{K}$

Supongamos que denota la complejidad de calcular f , es decir, la complejidad de un algoritmo que, dado x , devuelve f ( x ) . ¿Podemos de alguna manera caracterizar C ( f ) , en base a las propiedades de f ? Por ejemplo, ¿estamos garantizados de que C ( f ) es polinomial (en n ) para todos los polinomios simétricos f ?$C(f)$$f$$x$$f(x)$$C(f)$$f$$C(f)$$n$$f$

Como caso especial, parece que (a) podemos calcular los polinomios de suma de potencia en el tiempo , y (b) podemos calcular los polinomios simétricos elementales en el tiempo poli ( n ) , utilizando las identidades de Newton . Como consecuencia, si f es una suma ponderada de monomios donde ninguna variable se eleva a una potencia superior a 1 (es decir, si f es multilineal), entonces f puede calcularse en tiempo polinomial (ya que puede expresarse como una suma ponderada de polinomios simétricos elementales). Por ejemplo, cuando K = G F $\text{poly}(n)$$\text{poly}(n)$$f$$f$$f$ , entonces cada polinomio simétrico se puede calcular en tiempo polinómico. ¿Se puede decir algo más que esto?$\mathbb{K}=GF(2)$

La pregunta parece bastante abierta. ¿O tal vez desea tener una caracterización precisa de la complejidad temporal de cualquier posible polinomio simétrico sobre campos finitos?

En cualquier caso, al menos que yo sepa, hay varios resultados bien conocidos sobre la complejidad temporal de la computación de polinomios simétricos:

1. Si es un polinomio simétrico elemental sobre un campo finito, entonces puede calcularse mediante circuitos T C 0 uniformes de tamaño polinómico .$f$$TC^0$

2. Si es un polinomio simétrico elemental sobre un campo 0 característico , entonces se puede calcular por profundidad polinómica de tamaño tres circuitos algebraicos uniformes (como ya mencionó el polinomio de Newton; o por la fórmula de interpolación de Lagrange); así que creo que esto se traduce en circuitos booleanos uniformes de tamaño polinómico (aunque quizás no de profundidad constante) (pero esto puede depender del campo específico en el que esté trabajando; por simplicidad, podría considerar el anillo de enteros; aunque para el enteros supongo que T C 0 es suficiente para calcular polinomios simétricos en cualquier caso).$f$$0$$TC^0$

3. Si es un polinomio simétrico sobre un campo finito, entonces hay un límite inferior exponencial en la profundidad de tres circuitos algebraicos para f (por Grigoriev y Razborov (2000) [siguiendo a Grigoriev y Karpinsky 1998]). Pero, como se mencionó en el punto 1 anterior, esto corresponde solo a los límites inferiores del circuito booleano de profundidad constante (mientras que hay pequeños circuitos booleanos uniformes en T C 0 ; lo que significa también que los polinomios son computables en tiempo polinómico). $f$$f$$TC^0$

Probablemente hay resultados más conocidos sobre la complejidad temporal del polinomio simétrico ...