Coeficientes de Fourier Funciones booleanas descritas por circuitos de profundidad acotada con compuertas AND OR y XOR

Sea $f$ una función booleana y pensemos en f como una función desde $\{-1,1\}^n$ hasta . En este lenguaje, la expansión de Fourier de f es simplemente la expansión de f en términos de monomios libres cuadrados. (Estos monomios forman una base para el espacio de funciones reales en . La suma de los cuadrados de los coeficientes es simplemente por lo que conduce a una distribución de probabilidad en monomios libres de cuadrados. Llamemos a esta distribución la distribución F.$\{ -1,1 \}$$2^n$$\{-1,1\}^n$$1$$f$

Si f puede ser descrito por un circuito de profundidad acotada de tamaño polinómico, entonces sabemos por un teorema de Linial, Mansour y Nisan que la distribución F se concentra en monomios de tamaño hasta un peso casi exponencialmente pequeño. Esto se deriva del lema de cambio Hastad. (Una prueba directa sería lo más deseable).$\text{polylog } n$

¿Qué sucede cuando agregamos puertas mod 2? Un ejemplo a considerar es la función en variables que se describe como el producto interno mod 2 de las primeras n variables y las últimas n variables. Aquí la distribución F es uniforme.$IP_{2n}$$2n$

Pregunta : ¿La distribución F de una función booleana se describe por el tamaño polinómico de profundidad limitada Y, O, circuito MOD concentrado (hasta un error superpolinomialmente pequeño) en "niveles"?$_2$$o(n)$

Observaciones :

1. Una posible ruta a un contraejemplo sería "pegar de alguna manera" varias IP en conjuntos disjuntos de variables, pero no veo cómo hacerlo. Quizás uno debería debilitar la pregunta y permitir asignar algunos pesos a las variables, pero tampoco veo una forma clara de hacerlo. (Entonces, referirme a estos dos asuntos también es parte de lo que estoy preguntando).$_2k$

2. Yo especularía que una respuesta positiva a la pregunta, (o una variación exitosa) se aplicará también cuando permita puertas . (Entonces, formular la pregunta fue motivado por el reciente e impresionante resultado ACC de Ryan Williams). $_k$

3. Para MAYORIDAD, la distribución F es grande (1 / poli) para cada "nivel".

Como lo muestra Luca, la respuesta a la pregunta que hice es "no". La pregunta que queda es proponer formas de encontrar propiedades de las distribuciones F de funciones booleanas que puedan ser descritas por AND OR y compuertas mod 2 no compartidas por MAJORITY.

Un intento de guardar la pregunta hablando de las funciones MONOTONE:

Pregunta : ¿La distribución F de una función booleana MONOTONE se describe por el tamaño polinómico de profundidad limitada Y, O, el circuito MOD 2 concentrado (hasta un error superpolinomialmente pequeño) en "niveles" o ( n ) ?$_2$$o(n)$

Podemos especular que incluso podemos reemplazar $o(n)$ por $\text{polylog} (n)$ por lo que un contraejemplo para esta versión sólida puede ser interesante.

Gil, ¿sería algo así como un contraejemplo?

Sea tal que n = m + log m , y piense en una entrada de n bits como un par $m$$n=m+\log m$$n$ donde x es una cadena de m bits ( x 1 , ... , x m ) e i es un entero en el rango 1 , ... , m escrito en binario.$(x,i)$$x$$(x_1,\ldots ,x_m)$$i$$1,\ldots,m$

Luego definimos $f(x,i):= x_1 \oplus \cdots \oplus x_i$

Ahora para cada la función f () tiene una correlación de 1 / m con el carácter de Fourier x 1 ⊕ ⋯ ⊕ x i , por lo que el "nivel i" tiene al menos unafracción de 1 / m 2 del masa. (De hecho más, pero esto debería ser suficiente)$i=1,\ldots,m$$1/m$$x_1 \oplus \cdots \oplus x_i$$1/m^2$

f () se puede realizar en profundidad-3: coloque todos los XOR en una capa y luego haga la "selección" en dos capas de AND, OR y NOT (sin contar los NOT como agregados a la profundidad, como de costumbre).