Desigualdad de concentración exponencial para momentos de orden superior de variables aleatorias gaussianas

Deje $X_1,\ldots, X_n$ $n$ $X \sim N(0, \sigma^2)$

\begin{aligned} P (| \frac{1}{n} \sum_{j = 1}^{n} X_{j} | > t) & \leq 2 \exp (c n t^{2}) and \\ P (| \frac{1}{n} \sum_{j = 1}^{n} (X_{j}^{2} - E X_{j}^{2}) | > t) & \leq 2 \exp (c n min {t^{2}, t}) . \end{aligned}

$\begin{align} \mathbb{P}\Bigl( \Bigl|\frac{1}{n}\sum_{j=1}^n X_j \Bigl| >t\Bigr) &\leq 2 \exp( cnt^2)~~\text{and}\\ \mathbb{P}\Bigl( \Bigl|\frac{1}{n}\sum_{j=1}^n (X_j^2 - \mathbb{E}X_j^2) \Bigl| >t\Bigr) &\leq 2 \exp( cn\min \{t^2, t\}). \end{align}$

\begin{aligned} P (| \frac{1}{n} \sum_{j = 1}^{n} (X_{j}^{4} - E X_{j}^{4}) | > t) \leq 2 \exp (c n t) ? \end{aligned}

$\begin{align} \mathbb{P}\Bigl( \Bigl|\frac{1}{n}\sum_{j=1}^n (X_j^4 - \mathbb{E}X_j^4) \Bigl| >t\Bigr) \leq 2 \exp( cnt)? \end{align}$

Y

$Y$

P (| Y | > t) \leq 2 \exp (c t^{α})

$\mathbb{P}(|Y| > t) \leq 2 \exp(c t^{\alpha})$

α > 0

$\alpha > 0$

\sum_{i = 1}^{n} Y_{i}

$\sum_{i=1}^n Y_i$ ? Es decir, ¿podemos tener para algunos？

\begin{aligned} P (| \frac{1}{n} \sum_{j = 1}^{n} (Y_{j} - E Y_{j}) | > t) \leq 2 \exp (c n t^{β}) \end{aligned}

$\begin{align} \mathbb{P}\Bigl( \Bigl|\frac{1}{n}\sum_{j=1}^n (Y_j - \mathbb{E}Y_j) \Bigl| >t\Bigr) \leq 2 \exp( cnt^\beta) \end{align}$

β > 0

$\beta > 0$

pr.probability st.statistics

— Steve
fuente

Vea el Teorema 23 en la Sección 9.3 del libro Análisis de las funciones booleanas de Ryan O'Donnell . Aunque el teorema allí se establece para variables , también es válido para los gaussianos (consulte el Capítulo 10 del libro para obtener detalles al respecto). $\pm 1$

Para una declaración más general, vea el Ejercicio 7 en estas notas de Terry Tao .

— Yuval Filmus
fuente

Lo sentimos, la afirmación anterior de la pregunta no es correcta. Ahora he hecho algunas correcciones. ¿Y qué podemos decir de variables aleatorias más generales con algún comportamiento de la cola en descomposición?

— Steve

Su pregunta más general se aborda en las notas de clase de Terry Tao.

— Yuval Filmus