Gaussianos independientes por parejas

Dado $X_1,\ldots,X_k$ (iid gaussianos con media $0$ y varianza $1$ ), ¿es posible (¿cómo?) Muestrear (para $m=k^2$ ) $Y_1, \ldots, Y_m$ tal que $Y_i$ son pares gaussianos independientes con media $0$ y varianza $1$ .

derandomization pr.probability

— Kaveh
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@Suresh,

E [(X_{i} + X_{j}) (X_{i} + X_{k})] = E [X_{i}^{2}] = 1

$E[(X_i+X_j)(X_i+X_k)] = E[X_i^2] = 1$ por lo que no parece funcionar.

— Kaveh

No sé por qué, pero encuentro que la respuesta de MO a esta pregunta es bastante graciosa (aparte del puntero a stats.SE): mathoverflow.net/questions/46180/…

— Suresh Venkat

Lo que estaba buscando era algo así como tomar combinaciones lineales (que obviamente no funcionan) o polinomios, etc. (que no funcionan de inmediato), pero realmente no puedo pensar en ninguna noción razonable que la respuesta de Shai sobre el desbordamiento matemático no cumpla.

tal vez deberías actualizar la pregunta señalando la respuesta en MO?

— Suresh Venkat

¿Necesita una distribución gaussiana conjunta? Si es así, lo que necesita parece ser imposible ya que dicha distribución está determinada por su matriz de covarianza y, por lo tanto, la independencia por pares y la independencia total serían lo mismo.

— MCH

Respuestas:

La publicación en MathOverflow indica cómo pasar de una pequeña cantidad de variables aleatorias Uniformes [0,1] independientes a una mayor cantidad de variables aleatorias Uniformes independientes de pares [0,1]. Por supuesto, puede ir y venir entre Uniform [0,1] y Gaussiano invirtiendo el CDF. Pero eso requiere un análisis numérico ya que el CDF no es de forma cerrada.

Sin embargo, hay una forma más sencilla de pasar de gaussiano a uniforme. Dados dos gaussianos independientes , el ángulo es uniforme en el rango . $X_1, X_2$ $\arctan(X_1/X_2)$ $[0,2 \pi]$

Del mismo modo, el método de Box-Muller transforma dos variables uniformes [0,1] independientes en dos variables aleatorias gaussianas independientes.

Usando estas dos transformaciones, consumes dos gaussianos para producir un uniforme o dos uniformes para producir un gaussiano. Por lo tanto, solo hay un factor de en la eficiencia del muestreo. Además, no se requiere inversión del cdf normal. $O(1)$

— David Harris
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-2

$|Y_{i,j}| = |Y_{i,j'}|$

Para cada par distinto , deje , donde es la función de signo. Está claro que cada es una variable normal con media 0 y varianza 1. Para ver que son ortogonales, para , tenga en cuenta que que se puede verificar fácilmente para que sea igual a 0 al observar los diversos casos de posibles igualdades entre . $(i,j) \in {[k] \choose 2}$ $Y_{i,j} = |X_i| \cdot \sigma(X_i X_j)$ $\sigma(\cdot)$ $Y_{i,j}$ $(i,j) \neq (i',j')$

E [Y_{i, j} Y_{i^{'}, j^{'}}] = E [| X_{i} X_{i^{'}} | \cdot σ (X_{i} X_{i^{'}} X_{j} X_{j^{'}})]

$\mathbb{E}[Y_{i,j}Y_{i',j'}] = \mathbb{E}[|X_i X_{i'}| \cdot \sigma(X_i X_{i'} X_j X_{j'})]$

i, i^{'}, j, j^{'}

$i,i',j,j'$

PD: Una versión anterior reclamaba falsamente la independencia por pares.

— arnab
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No puedo entender por qué la media de que el producto sea cero implicaría independencia.

— Tsuyoshi Ito

@ TsuyoshiIto: Su crítica fue correcta, por supuesto. Todavía he dejado esta respuesta, ya que creo que es interesante.

— arnab

Si desea conservar su publicación, tome las precauciones necesarias para evitar confundir a los lectores. Puede argumentar que la versión actual (revisión 3) de su publicación no indica nada incorrecto. Es cierto, pero la pregunta pregunta algo, y tu publicación responde algo más sin decirlo. Por favor, comprenda que es extremadamente confuso para los lectores.

— Tsuyoshi Ito