¿Complejidad del rompecabezas poligonal oculto en cuadrículas cuadradas?

Hiroimono es un popular rompecabezas completo de Estoy interesado en la complejidad computacional de un rompecabezas relacionado.$NP$

El problema es:

Entrada : dado un conjunto de puntos en una cuadrícula x n cuadrada y entero $n$$n$$k$

Pregunta : ¿Existe un polígono rectilíneo (sus lados paralelos al eje o y ) de tal manera que el número de puntos en las esquinas del polígono sea al menos k ?$x$$y$$k$

Cada esquina del polígono debe estar en uno de los puntos de entrada (por lo que las curvas solo se permiten en un punto de entrada).

¿Cuál es la complejidad de este problema? ¿Cuál es la complejidad si la solución se limita a polígonos rectilíneos convexos?

EDITAR 13 de abril: formulación alternativa: encuentre un polígono rectilíneo con las esquinas máximas en los puntos dados.

$\leq 3$$y$$x$

El gadget de nodo se representa en la siguiente figura:

$[W,N,E]$$C \times C$$C$$2C$$2C+2$$C \times C - 4 + 6$$[N,E,S]$$[E,S,W]$$[S,W,N]$

$(x_1,y_1), (x_2,y_2)$$x_1 \neq x_2$$y1 \neq y_2$$4 \times 3$

$E$$W$

$4 + 2C$$2e$

$n$$e$$C > (4n+2e)$$k = 2Cn$

$V$

En segundo lugar, hay una hermosa actualización de este trabajo de Maarten Löffler y Elena Mumford, en un artículo, " Gráficos rectilíneos conectados en conjuntos de puntos ", Journal of Computational Geometry , 2 (1), 1–15, 2011. De su resumen:

$V$