¿Clases máximas para qué conjunto independiente más grande se puede encontrar en el tiempo polinómico?

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El ISGCI enumera más de 1100 clases de gráficos. Para muchos de estos sabemos si el CONJUNTO INDEPENDIENTE se puede decidir en tiempo polinómico; a veces se denominan clases IS-easy . Me gustaría compilar una lista de clases máximas IS-easy. Estas clases juntas forman el límite de la trazabilidad (conocida) para este problema.

Dado que uno puede agregar un número finito de gráficos a cualquier clase IS-easy infinita sin afectar la capacidad de trazabilidad, algunas restricciones están en orden. Restrinja las clases a las que son hereditarias (cerradas bajo la toma de subgrafías inducidas, o de manera equivalente, definidas por un conjunto de subgrafías inducidas excluidas). Además, consideremos solo aquellas familias que no tienen X para un conjunto X con una pequeña descripción. No ~~podrían~~ son también ~~ser~~ cadenas ascendentes infinitas de clases manejables (tales como exento y las clases descritas por David Eppstein más adelante), pero vamos a restringir la atención a las clases que De hecho, se ha demostrado que es fácil. $(P,\text{star}_{1,2,k})$

Aquí están los que conozco:

gráficos perfectos
$(P,\text{star}_{1,2,5})$ -free
$(K_{3,3}-e, P_5)$ exento
co-Meyniel
casi bipartito
sin silla
( , cricket) -free $P_5$
$(P_5,K_{n,n})$ -free (para cualquier fijo ) $n$
$(P_5, X_{82}, X_{83})$ -free

¿Se conocen otras clases máximas?

Editar: Vea también una pregunta relacionada hecha por Yaroslav Bulatov sobre clases definidas por menores excluidos. ¿Qué es fácil para los gráficos de menores excluidos? y ver las propiedades globales de las clases hereditarias? para una pregunta más general que hice previamente sobre las clases hereditarias.

Como Jukka Suomela señala en los comentarios, el caso de menores excluidos también es interesante (y sería una pregunta interesante), pero este no es el enfoque aquí.

Para evitar el ejemplo de David, una clase máxima también debe definirse como los gráficos sin X, donde no todos los gráficos en X tienen un vértice independiente.

Clases dadas en las respuestas a continuación:

sin manzana (sugerido por Standa Živný)
( , house) -free $P_5$ (sugerido por David Eppstein)
( claw) -free $K_2 \cup$ (sugerido por David Eppstein)

Agregado 2013-10-09: el resultado reciente de Lokshtanov, Vatshelle y Villanger, mencionado por Martin Vatshelle en una respuesta, reemplaza algunas de las clases máximas previamente conocidas.

En particular, - es IS-easy ( , cricket) -free, ( , ) -free, ( , , ) -free, y ( , casa) -sin ser todo IS-fácil. $P_5$ $P_5$ $P_5$ $K_{n,n}$ $P_5$ $X_{82}$ $X_{83}$ $P_5$

Esto significa que todas las clases de gráficos hereditarias definidas por un solo subgrafo inducido prohibido con hasta cinco vértices ahora se pueden clasificar definitivamente como IS-easy o no IS-easy.

Desafortunadamente, la prueba de que los gráficos sin forman una clase IS-easy no parece funcionar para los gráficos sin , por lo que la próxima frontera es clasificar todas las clases de gráficos hereditarios definidos por un solo gráfico de seis vértices. $P_5$ $P_6$

Me quedo sobre todo interesa es fácil clases de la forma exento de alguna colección de gráficos con una infinidad de clases de isomorfismo, sin embargo, donde exento no es, es fácil para cualquier . $X$ $X$ $Y$ $Y \subset X$

— András Salamon
fuente

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¿Qué pasa con los gráficos con ancho de árbol acotado? ¿Supongo que ya están contenidos en una de las clases que mencionaste?

— Jukka Suomela

@ Jukka: hasta donde yo sé, el ancho de árbol limitado no es posible capturar con un pequeño conjunto de subgrafías inducidas excluidas. Por ejemplo, treewidth 2 es libre de ; Esto genera un conjunto infinito de subgrafías inducidas excluidas. Por otro lado, el "árbol k parcial" bien podría calificarse como una descripción "pequeña". ¿Qué piensas?

K_{4}

$K_4$

— András Salamon

ás: Oh, parece que no había leído tu pregunta con suficiente cuidado, pensé que también te interesaban las familias gráficas que se caracterizan en términos de menores prohibidos.

— Jukka Suomela

¿ ? Dado que solo hay POCOS conjuntos independientes (precisamente, ) en tales gráficos.

2 K_{2}

$2K_2$

O (n^{2})

$O(n^2)$

— Hsien-Chih Chang 張顯之

@ Hsien-Chih Chang: Gracias por mencionar la clase Balas-Yu, me había olvidado de esa. Sí, eso sin duda sería una respuesta relevante.

— András Salamon

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La pregunta ya es un poco más antigua, pero ISGCI puede ser de alguna ayuda aquí.

Cuando inicia la aplicación Java ISGCI y va al menú Problemas -> Clases de límites / abiertos -> Conjunto independiente, aparece un cuadro de diálogo con 3 listas.

La lista P máxima contiene todas las clases C (en ISGCI) en las que IS puede resolverse en tiempo polinómico, de modo que hay una superclase mínima de C en la que IS no se sabe que está en P (es decir, NP-completo, abierto o desconocido para ISGCI). Al seleccionar una clase y hacer clic en 'Dibujar', se dibujarán la clase y las superclases que se encuentran al subir el estilo BFS a la jerarquía de inclusión tanto como sea necesario para encontrar una clase en la que se desconoce IS en P.

La lista Minimal NP-complete va al revés: contiene clases en las que IS es NP-complete, de modo que no todas las subclases máximas también son NP-complete. El dibujo desciende en la jerarquía hasta que se encuentra una clase no completa de NP.

La lista abierta contiene clases para las cuales el problema es abierto o desconocido. El dibujo camina sobre las superclases / subclases hasta que se alcanza una clase que no está abierta.

Al crear un dibujo, es una buena idea establecer el color en el problema Conjunto independiente (Problemas -> Color para problema -> Conjunto independiente).

Con respecto a la pregunta de Standa Zivny, las siguientes 20 clases se enumeran en ISGCI con complejidad conocida para el problema de IS no ponderado, pero con complejidad desconocida para el caso ponderado (ISGCI no puede distinguir entre algoritmos polinomiales "simples" y "complicados"):

gc_11 extendido P ₄ cargado de
gc_128 EPT
gc_415 bien cubierto
gc_428 (K _3,3 -e, P ₅ , X ₉₈ )
libre de gc_648 (K _3,3 -e, P ₅ )
libre de gc_752 camarilla co-hereditaria Helly
gc_756 (E, P)
libre de gc_757 (P, T ₂ )
libre de gc_758 (P, P ₈ )
libre de gc_759 (K _3,3 -e, P ₅ , X ₉₉ )
libre de gc_808 (C ₆ , K _{3, 3} + e, P, P ₇ , X ₃₇ , X ₄₁ ) sin
gc_811 (P, estrella_1,2,5 )
libre de gc_812 (P ₅ , P ₂ ∪ P ₃ )
libre de gc_813 (P, P ₇ )
libre de gc_818 (P, estrella _1,2,3 )
libre de gc_819 (P, estrella _{1, 2,4} )
libre de gc_841 (2K ₃ + e, A, C ₆ , E, K _3,3 -e, P ₆ , R, X ₁₆₆ , X ₁₆₇ , X ₁₆₉ , X ₁₇₀ , X ₁₇₁ , X ₁₇₂ , X ₁₈ , X ₄₅ , X ₅ , X ₅₈ , X ₈₄ , X ₉₅ , X₉₈ , A, C ₆ , E, P ₆ , R, X ₁₆₆ , X ₁₆₇ , X ₁₆₉ , X ₁₇₀ , X ₁₇₁ , X ₁₇₂ , X ₁₈ , X ₄₅ , X ₅ , X ₅₈ , X ₈₄ , X ₉₅ , X ₉₈ , antena, co-antena, co-domino, co-fish, co-twin-house, domino, fish, twin-house)
-free gc_894 co-circular perfecto
gc_895 fuertemente circular perfecto
(3K ₂ , E, P ₂ ∪ P ₄ , neto) -free

Sin duda, algunos de estos también tendrán algoritmos conocidos para el caso ponderado. ¡Las adiciones y correcciones siempre son bienvenidas en la dirección indicada en la página web de ISGCI!

— Ernst de Ridder
fuente

gracias por el puntero a la funcionalidad de la aplicación Java para encontrar clases máximas manejables, y la lista de clases para las que está abierto el caso ponderado. Y, por supuesto, ¡gracias por su trabajo en ISGCI!

— András Salamon

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Un artículo interesante para mirar podría ser:

A. Brandstadt, VV Lozin, R. Mosca: Conjuntos independientes de peso máximo en gráficos sin manzana, SIAM Journal on Discrete Mathematics 24 (1) (2010) 239–254. doi: 10.1137 / 090750822

La clase infinita de manzanas se define como los ciclos C_k, k> = 5, cada uno con un tallo.

No menciona si su noción de facilidad de IS incluye el problema de IS ponderado. Se sabe que los gráficos sin silla (también conocidos como gráficos sin horquilla) son IS-easy:

VE Alekseev, Algoritmo polinómico para encontrar los conjuntos independientes más grandes en gráficos sin horquillas, Discrete Applied Mathematics 135 (1-3) (2004) 3–16. doi: 10.1016 / S0166-218X (02) 00290-1

La trazabilidad del caso ponderado es una extensión no trivial, ver:

VV Lozin, M. Milanic: Un algoritmo polinomial para encontrar un conjunto independiente de peso máximo en un gráfico sin horquilla, Journal of Discrete Algorithms 6 (4) (2008) 595-604. doi: 10.1016 / j.jda.2008.04.001

¿Hay otras clases (interesantes) donde el problema de IS ponderado es significativamente más difícil / intratable / abierto que el caso no ponderado?

— Standa Zivny
fuente

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Pregunta interesante, podría valer la pena publicar por separado.

— András Salamon

En la definición de manzanas, te refieres a k ≥ 4, ¿verdad?

— David Eppstein

Sí, k> = 4, perdón por el error tipográfico.

— Standa Zivny

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Según Vassilis Giakoumakis e Irena Rusu, Disc. Appl. Mates. 1997 , los gráficos libres de (P5, house) (también conocidos como gráficos libres de (P5, coP5)) son IS-easy.

Otro, acreditado por ISGCI a V. Lozin, R. Mosca Disc. Appl. Mates. 2005 , es la familia de gráficos libres de (K2 u claw) .

También puede haber infinitas cadenas ascendentes de clases manejables.

Definitivamente hay cadenas ascendentes infinitas. Si H es un conjunto finito de gráficos para los cuales los gráficos sin H son IS-easy, deje que H 'sean los gráficos formados agregando un vértice independiente a cada gráfico en H. Entonces los gráficos sin H'también son IS-easy: simplemente aplique el algoritmo sin H a los conjuntos de no vecinos de cada vértice. Por ejemplo, como describe ISGCI, los gráficos libres de co-gemas son IS-easy por la razón de que un co-gem es un P4 más un vértice independiente y los gráficos libres de P4 son IS-easy. Por lo tanto, probablemente desee restringir su pregunta a clases máximas en las que no todas las subgrafías prohibidas tengan un vértice independiente.

— David Eppstein
fuente

¡Gracias por las clases adicionales y por destacar una construcción fácil de cadenas infinitas! Reformulará.

— András Salamon

Así también los gráficos sin garras, según la entrada de Wikipedia en el conjunto independiente: en.wikipedia.org/wiki/…

— gphilip

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@gphilip: sin garras se incluyen tanto sin silla como sin (uña K2 u).

— David Eppstein

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Un documento aceptado en SODA 2014 ofrece un algoritmo de tiempo polinómico para el conjunto de peso máximo independiente en gráficos libres . http://www.ii.uib.no/~martinv/Papers/ISinP5free.pdf $P_5$

Sea H un gráfico en un máximo de 5 vértices, entonces la complejidad del conjunto independiente se conoce en la clase de gráficos sin H.

El problema es difícil si H contiene un ciclo o un vértice de grado 4. Los únicos casos restantes de H conectado son , garra y horquilla, para estas clases se sabe que el problema es polinómico para H desconectado sin ciclos, solo hay unas pocas posibilidades. Si H tiene vértices aislados, es fácil ver que IS es polinomial ya que es polinomial para todos los H en 4 vértices sin ciclos. El caso fue resuelto por Lozin y Mosca en 2005. $P_5$ $H = P_2 \cup P_3$

— Martin Vatshelle
fuente