¿Qué es fácil para los gráficos excluidos menores?

El número aproximado de coloraciones parece ser fácil en gráficos con exclusión menor utilizando el algoritmo de Jung / Shah. ¿Cuáles son otros ejemplos de problemas que son difíciles en gráficos generales pero fáciles en gráficos excluidos menores?

Actualización 10/24 Parece seguir los resultados de Grohe de que la fórmula que es FPT para probar en gráficos de ancho de árbol limitado es FPT para probar en gráficos excluidos menores. Ahora la pregunta es: ¿cómo se relaciona con la posibilidad de contar las tareas satisfactorias de tal fórmula?

La declaración anterior es falsa. MSOL es FPT en gráficos de ancho de árbol acotado, sin embargo, la capacidad de 3 coloraciones es NP completa en gráficos planos que están excluidos de manera menor.

El resultado más general conocido es el de Grohe. Se presentó un resumen en julio de 2010:

• Martin Grohe, Definabilidad de punto fijo y tiempo polinómico en gráficos con menores excluidos , LICS 2010. ( PDF )

En resumen, cualquier enunciado que sea expresable en lógica de punto fijo con conteo tiene un algoritmo de tiempo polinómico en clases de gráficos con al menos un menor excluido. (FP + C es lógica de primer orden aumentada con un operador de punto fijo y un predicado que da la cardinalidad de conjuntos de vértices definibles). La idea clave es que excluir a un menor permite que las gráficas de la clase tengan descomposiciones arboladas ordenadas que son definibles en la lógica de punto fijo (sin contar).

Por lo tanto, se puede obtener una gran clase de respuestas a su pregunta considerando propiedades que se pueden definir en FP + C pero que son difíciles de contar.

Editar: no estoy seguro de que esto realmente responda su pregunta, y menos aún para su actualización. El puntero y la declaración del resultado de Grohe son correctos, pero no creo que el texto tachado sea relevante para su pregunta. (Gracias a Stephan Kreutzer por señalar esto). Podría valer la pena aclarar: ¿desea un problema de conteo que sea difícil en general pero fácil en las clases excluidas menores, o un problema de decisión?

Una propiedad interesante de las familias de gráficos cerrados menores es que tienen degeneración limitada . Esto significa que todos los problemas que son fáciles en los gráficos de degeneración limitada son fáciles en los gráficos de una familia cerrada menor.

Entonces, por ejemplo, encontrar si un gráfico contiene una camarilla de tamaño k suele ser un problema difícil y los mejores algoritmos son como . Sin embargo, si sabemos que la degeneración es una constante, entonces las k-camarillas se pueden encontrar en el tiempo lineal, es decir, el tiempo O (n). El artículo de Wikipedia sobre el problema de la camarilla también proporciona información sobre esto. (El tiempo de ejecución preciso es algo así como O ( k d ( G ) k n )) . Este algoritmo es de Chiba y Nishizeki .$O(n^k)$$O(k d(G)^k n)$

Se pueden encontrar otros ejemplos en esta respuesta de David Eppstein en MathOverflow a una pregunta similar sobre gráficos con degeneración limitada.

Como complemento, otra propiedad útil para los algoritmos en gráficos excluidos menores es que estos gráficos tienen separadores pequeños . Más precisamente, debido a

Un algoritmo de tiempo lineal para encontrar un separador en un gráfico que excluya a un menor , Bruce Reed y David R. Wood, ACM Transactions on Algorithms, 2009,

hay un algoritmo de tiempo lineal para encontrar un separador de tamaño , o un O ( n 3 / 2 + m ) algoritmo de tiempo para encontrar un separador de tamaño O ( n 1 / 2 ) .$O(n^{2/3})$$O(n^{3/2} + m)$$O(n^{1/2})$

Los separadores son buenos para las técnicas de programación dinámica , y muchos problemas de NP completo muestran algoritmos rápidos con una buena relación de aproximación, digamos que la solución está dentro de un factor constante del óptimo, o incluso un PTAS. Las gráficas planas y, en general, las gráficas de género acotadas son buenos puntos de partida cuando se intenta resolver problemas en gráficas excluidas menores.

$O(1)$

Teoría menor del gráfico algorítmico: descomposición, aproximación y coloración de Demaine, Hajiaghayi y Kawarabayashi

Este artículo ofrece una versión algorítmica de una cierta descomposición (algo compleja de explicar) para gráficos menores excluidos garantizados por el teorema de Robertson y Seymour, que arroja varios de estos resultados de aproximación mejorados. También revise las referencias allí.

$K_5$$K_{3,3}$

$H$$H$

La conjetura de Hadwiger afirma que cada $K_t$$(t-1)$$K_t$$(t-1)$$t− 2$