¿Propiedades globales de las clases hereditarias?

Una clase hereditaria de estructuras (p. Ej., Gráficas) es aquella que se cierra bajo subestructuras inducidas, o de manera equivalente, se cierra bajo eliminación de vértices.

Las clases de gráficos que excluyen a un menor tienen buenas propiedades que no dependen del menor excluido específico. Martin Grohe demostró que para las clases de gráficos que excluyen un menor, existe un algoritmo polinomial para el isomorfismo, y la lógica de punto fijo con conteo captura el tiempo polinómico para estas clases de gráficos. (Grohe, Definibilidad de punto fijo y tiempo polinomial en gráficos con menores excluidos , LICS, 2010.) Estas pueden considerarse propiedades "globales".

¿Existen propiedades "globales" similares conocidas para las clases hereditarias (gráficos o estructuras más generales)?

Sería bueno ver que cada respuesta se centre en una sola propiedad específica.

Las propiedades hereditarias son muy "robustas" en el siguiente sentido.

Noga Alon y Asaf Shapira demostraron que para cualquier propiedad hereditaria , si un gráfico G necesita más de ϵ n 2 bordes para agregarse o eliminarse para satisfacer P , entonces hay un subgráfico en G , de tamaño como máximo f P ( ε ) , que no satisface P . Aquí, la función f solo depende de la propiedad P (y no del tamaño del gráfico G , por ejemplo). Erdős había hecho tal conjetura solo sobre la propiedad de k- coloración.${\cal P}$$G$$\epsilon n^2$${\cal P}$$G$$f_{\cal P}(\epsilon)$${\cal P}$$f$${\cal P}$$G$$k$

De hecho, Alon y Shapira demuestran el siguiente hecho más fuerte: dado , para cualquier ϵ en ( 0 , 1 ) , hay${\cal P}$$\epsilon$$(0,1)$ , h ( ϵ ) y δ ( ϵ ) de modo que si un gráfico G tiene al menos N vértices y necesita al menos ϵ n 2 bordes agregados / eliminados para satisfacer P , luego para al menos δ fracción de subgrafías inducidas en h vértices, la subgrafía inducida viola$N(\epsilon)$$h(\epsilon)$$\delta(\epsilon)$$G$$N$$\epsilon n^2$${\cal P}$$\delta$$h$ . Por lo tanto, si ϵ y la propiedad P son fijas, para probar si un gráfico de entrada satisface P o está ϵ -mucho de satisfacer P , entonces uno solo necesita consultar los bordes de un subgráfico inducido al azar de tamaño constante a partir del gráfico y compruebe si satisface la propiedad o no. Tal probador siempre aceptaría gráficos que satisfagan P y rechazaría los gráficos ϵ -mucho de satisfacerlo con probabilidad constante. Además, cualquier propiedad que sea comprobable de un solo lado en este sentido es una propiedad hereditaria. Vea el documento de Alon y Shapira para más detalles.${\cal P}$$\epsilon$${\cal P}$${\cal P}$$\epsilon$${\cal P}$${\cal P}$$\epsilon$

Puede que esto no sea exactamente lo que tenía en mente, pero existen restricciones conocidas sobre cuántos gráficos en vértices puede haber en una clase hereditaria de gráficos. Por ejemplo, no existe una clase hereditaria de gráficos que tenga entre 2 Ω ( n ) y 2 o ( n log n ) gráficos en n vértices.$n$$2^{\Omega(n)}$$2^{o(n\log{n})}$$n$

Referencia: E. Scheinerman, J. Zito, Sobre el tamaño de las clases hereditarias de gráficos, Journal of Combinatorial Theory Series B

Esto está relacionado con la respuesta de Travis. De hecho, podría considerarse una versión más fuerte.

Un artículo de Bollob \ 'as ​​y Thomason (Combinatorica, 2000) muestra que en Erd \ H {o} sR \' enyi gráficos aleatorios (con p alguna constante fija), cada propiedad hereditaria puede aproximarse por lo que Llamar a una propiedad básica . Básico casi significa gráficos cuyos conjuntos de vértices son uniones de clases r ,$G_{n,p}$$p$$r$ de las cuales abarcan camarillas y r - s de las cuales abarcan conjuntos independientes, pero no del todo. Esta aproximación se utiliza para caracterizar el tamaño de un conjunto P más grande, así como elnúmero cromático P de G n $s$$r-s$$\mathcal{P}$$\mathcal{P}$ , donde P es alguna propiedad hereditaria fija. Si sepermite quepvaríe, el comportamiento no se entiende bien.$G_{n,p}$$\mathcal{P}$$p$

Para obtener más antecedentes sobre este y el trabajo relacionado, hay una encuesta realizada por Bollob \ 'as (Proceedings of the ICM 1998) que también da una conjetura tentadora a lo largo de estas líneas, pero para hipergrafías.

Encuentro la profunda conexión entre las propiedades hereditarias y el Lema de regularidad de Szem \ 'eredi muy intrigante, ya que se usó tanto aquí como en el resultado de Alon y Shapira.

La respuesta de Suresh sobre la conjetura de AKR me hizo pensar en la misma conjetura para las propiedades hereditarias. Creo que (a menos que haya cometido un error) puedo mostrar que todas las propiedades hereditarias no triviales tienen una complejidad de árbol de decisión (aleatoria y determinista) , que resuelve la conjetura AKR para tales propiedades (hasta constantes).$\Theta(n^2)$

Traté de buscar en la literatura para ver si esto se ha mostrado en alguna parte, pero no pude encontrar una referencia. Entonces, o no pude encontrarlo, pero existe, o el teorema no es interesante o cometí un error.

Entonces, este es otro ejemplo de una propiedad global de todas las propiedades hereditarias de gráficos.

$\Omega(n^c)$$c>0$ que depende de la familia pero no de la gráfica). Esto contrasta con los gráficos aleatorios, donde la camarilla más grande y el conjunto independiente más grande son ambos logarítmicos.

Esta es la dirección "inversa", pero la conocida conjetura de Aanderaa-Rosenberg-Karp se aplica a las propiedades del gráfico que son monótonas hacia arriba (es decir, si G satisface la propiedad, también lo hace cualquier gráfico en los mismos nodos cuyo conjunto de bordes contiene E (G )).