Se dice que una distribución ϵ -engaña una función f si | E x ∈ U ( f ( x ) ) - E x ∈ D ( f ( x ) ) | ≤ ϵ . Y se dice que engaña a una clase de funciones si engaña a todas las funciones de esa clase.
Se sabe que la varepsilon espacios -biased engañar a la clase de las paridades sobre subconjuntos. (ver Alon-Goldreich-Hastad-Peralta
para algunas buenas construcciones de tales espacios). La pregunta que quiero hacer es una generalización de esto a funciones simétricas arbitrarias.
Pregunta: Supongamos que tomamos la clase de funciones simétricas arbitrarias sobre algún subconjunto, ¿tenemos una distribución (con poco soporte) que engañe a esta clase?
Algunas pequeñas observaciones:
Es suficiente engañar los umbrales exactos ( es 1 si y solo si x tiene exactamente k unos entre los índices en S ). Cualquier distribución que ε -fools estos umbrales exactos será n ε engañar a todas las funciones simétricas sobre n bits. (Esto se debe a que cada función simétrica se puede escribir como una combinación lineal real de estos umbrales exactos donde los coeficientes en la combinación son 0 o 1. La linealidad de la expectativa nos da lo que queremos) Un argumento similar también funciona para umbrales generales ( Th S k ( x
es 1 si y solo si x tiene al menos k unos entre los índices en S )Hay una construcción explícita de una distribución con soporte través de PRG de Nisan para LOGSPACE .
Los espacios arbitrarios imparciales no funcionarán. Por ejemplo, si S es el conjunto de todos los x tales que el número de unos en x no es cero mod 3, esto es en realidad ε -biased para muy pequeño ε (a partir de un resultado de Arkadev Chattopadyay ). Pero claramente esto no engaña a la función MOD3.
Un subproblema interesante puede ser el siguiente: supongamos que solo queremos engañar a las funciones simétricas en todos los n índices , ¿tenemos un buen espacio? Según las observaciones anteriores, solo necesitamos engañar las funciones de umbral sobre bits, que es solo una familia de funciones n + 1 . Por lo tanto, uno puede elegir la distribución por fuerza bruta. ¿Pero hay mejores ejemplos de espacios que engañan a Th [ n ] k 's por cada k ?