Representando OR con polinomios

23

Sé que trivialmente la función OR en $n$ variables $x_1,\ldots, x_n$ puede representarse exactamente por el polinomio $p(x_1,\ldots,x_n)$ como tal: $p(x_1,\ldots,x_n) = 1-\prod_{i = 1}^n\left(1-x_i\right)$ , que es de grado $n$ .

Pero, ¿cómo podría mostrar, lo que parece obvio, que si $p$ es un polinomio que representa la función OR exactamente (entonces $\forall x \in \{0,1\}^n : p(x) = \bigvee_{i = 1}^n x_i$ ), entonces $\deg(p) \ge n$ ?

— Matthon
fuente

1

¿Estás hablando de polinomios reales? ¿O polinomios módulo 2? Si desea hablar sobre el módulo 6 (u otros números compuestos), la pregunta se vuelve más interesante.

— Igor Shinkar

30

Sea una función booleana. Si tiene una representación polinomial entonces tiene una representación polinomial multilineal de grado : simplemente reemplace cualquier potencia , donde , por . Entonces podemos restringir nuestra atención a polinomios multilineales. $f\colon \{0,1\}^n \to \{0,1\}$ $P$ $Q$ $\deg Q \leq \deg P$ $x_i^k$ $k \geq 2$ $x_i$

Reclamación: Los polinomios , como las funciones de formar una base de por el espacio de todas las funciones de . $\{ \prod_{i \in S} x_i : S \subseteq [n] \}$ $\{0,1\}^n \to \mathbb{R}$ $\{0,1\}^n \to \mathbb{R}$

Prueba: Primero mostramos que los polinomios son linealmente independientes. Suponga que para todos . Probamos por (fuerte) inducción en que . Supongamos que para todos $f = \sum_S c_S \prod_{i \in S} x_i = 0$ $(x_1,\ldots,x_n) \in \{0,1\}^n$ $|S|$ $c_S = 0$ $c_T = 0$ , y se nos dará un conjunto de cardinalidad . Para todos sabemos por inducción que , y así , donde es la entrada que es de las coordenadas de . $|T| < k$ $S$ $k$ $T \subset S$ $c_T = 0$ $0 = f(1_S) = c_S$ $1_S$ $1$ $S$ $~\qquad\square$

La reclamación muestra que la representación multilineal de una función es único (de hecho, no siquiera tiene que ser -valued). La representación multilineal única de OR es , que tiene un grado . $f\colon \{0,1\}^n \to \{0,1\}$ $f$ $0/1$ $1-\prod_i(1-x_i)$ $n$

— Yuval Filmus
fuente

26

Sea un polinomio tal que para todo , . Considere la simetrización del polinomio : $p$ $x\in \{0,1\}^n$ $p(x) = \sf{OR}(x)$ $p$ Tenga en cuenta que, dado que la función OR es una función booleana simétrica, tenemos que para,y. Comoes un polinomio distinto de cero y tiene al menos0, debe tener un grado de al menos. Por lo tanto,

q (k) = \frac{1}{(\binom{n}{k})} \sum_{x : | x | = k} p (x) .

$q(k) = \frac{1}{\binom{n}{k}} \sum_{x: |x| = k} p(x).$

k = 1, 2, \dots, n

$k = 1, 2, \ldots, n$

q (k) = 1

$q(k) = 1$

q (0) = 0

$q(0) = 0$

q - 1

$q-1$

n

$n$

n

$n$

también debe tener grado

.

p

$p$

n

$n$

La simetrización se usa a menudo en el estudio del grado aproximado de funciones booleanas y la complejidad de la consulta cuántica. Ver, por ejemplo, http://www.math.uwaterloo.ca/~amchilds/teaching/w11/l19.pdf .

— Henry Yuen
fuente

Me parece que para que su prueba funcione, debe demostrar que el grado de q es como máximo el grado de p. Esto no está claro para mí. ¿Cómo se muestra esto?

— matthon

Deje d = deg (p). Entonces q es una suma de polinomios de grado d, por lo tanto, el grado de q es como máximo d.

— Henry Yuen

3

Yuval y Henry han dado dos pruebas diferentes de este hecho. Aquí hay una tercera prueba.

$n$ $n$

Reclamación: Si dos polinomios multilineales p y q son iguales en el hipercubo, entonces son iguales en todas partes.

$\{0,1\}^n$

— Robin Kothari
fuente