Factorizando polinomios de bajo grado

¿Cuál es el algoritmo más rápido conocido para factorizar polinomios con $n$ variables y grado total $\leq d$ ? Aquí, $n$ está creciendo $d$ está arreglado. La mayoría del trabajo parece considerar el caso cuando $d$ está creciendo $n$ es fijo. Me interesan los resultados tanto en campos finitos como en racionales.

Sea $\mathbb K$ un campo de la característica $0$ o al menos $d(d-1)+1$ , y $p\in\mathbb K[x_1,\dotsc,x_n]$ sea ​​un polinomio de grado total como máximo $d$ . Si $d$ es fijo $n$ está creciendo, uno tiene los siguientes límites de complejidad para la reducción de la factorización de $p$ a la factorización de un polinomio univariado de grado $d$ : (La notación $\tilde{\mathcal O}(\cdot)$ ignora los factores logarítmicos).

1. Algoritmos deterministas:

   • $\tilde{\mathcal O}\left( \binom{n+d}{n}^4 \right)$ operaciones de campo, utilizando algoritmos de multiplicación ingenuos;
   • 2<ω≤$\tilde{\mathcal O}\left( \binom{n+2d-2}{n-1} d^\omega \right)$ operaciones de campo, si los algoritmos de multiplicación rápida están disponibles, donde es un exponente admisible para el álgebra lineal.$2<\omega\le 3$

2. Algoritmos probabilísticos:

   • $\tilde{\mathcal O}\left(\binom{n+d}{n}\right)$ operaciones de campo, si hay disponibles algoritmos de multiplicación rápida.

Entonces, uno tiene que factorizar un polinomio univariado de grado . La complejidad de este paso ya no depende de , por lo que los límites anteriores siguen siendo válidos para los algoritmos completos de factorización. La única diferencia está en la característica positiva: dado que no se sabe que un algoritmo determinista de tiempo polinómico factorice un polinomio univariado, incluso la reducción determinista produce un algoritmo probabilístico. No obstante, si es realmente fijo y pequeño, se puede reemplazar el algoritmo probabilístico de tiempo polinómico por uno determinista de tiempo exponencial.n $d$$n$$d$

Tenga en cuenta que el límite probabilístico es óptimo hasta los factores logarítmicos ya que es el tamaño de entrada.(n+$\tilde{\mathcal O}\left(\binom{n+d}{n}\right)$$\binom{n+d}{n}$

Se pueden encontrar más detalles en el documento Algoritmos de factorización polinomiales multivariados densos y mejorados de Grégoire Lecerf ( enlace sin paywall ).

Otra referencia, especialmente para campos de características pequeñas, es EL Kaltofen & G. Lecerf, Factorización de polinomios multivariados ( enlace sin paywall ), capítulo 11.5 de GL Mullen y D. Panario, editores, Manual de campos finitos .

¹ El resultado debe suponer que .$\omega>2$