Complejidad de convolución en el anillo max / plus

Podemos hacer convolución en para más / multiplicar polinomios con FFT. Sin embargo, el enfoque no parece muy generalizable a los anillos en general. ¿Ha habido algún progreso sobre la ingenua convolución para el anillo max / plus?$O(n\log n)$$O(n^2)$

Debo señalar que uno puede transformar soft-max / plus en plus / product haciendo exponenciación. Aquí .$\text{soft-max}(x,y)=\log(e^x+e^y) = \max(x,y) + \log(1+e^{\min(x,y)-\max(x,y)})$

Hay una pregunta más general sobre mathoverflow .

Le pregunté a una pregunta similar en CS.SE . jbapple proporcionó una buena respuesta. Citar

"Collares, circunvoluciones y X + Y", por Bremner et al. muestra un algoritmo para este problema en la RAM real y un en el modelo de árbol de decisión lineal no uniforme.$O\left(\frac{n^2(\lg \lg n)^3}{\lg^2 n}\right)$$O(n \sqrt{n})$

Cualquier mejora a este límite arrojará luz sobre algunos problemas abiertos difíciles, como ordenar y todos los pares de la ruta más corta.$X+Y$

Si una de las funciones es convexa / cóncava, podemos resolver el problema en tiempo . Consulte "Aceleración de la programación dinámica", por Eppstein et al. .$O(n\log n)$