Pruebas alternativas del lema de Schwartz – Zippel

Solo conozco dos pruebas del lema de Schwartz-Zippel. La primera prueba (más común) se describe en la entrada de wikipedia . La segunda prueba fue descubierta por Dana Moshkovitz.

¿Hay alguna otra prueba que use ideas sustancialmente diferentes?

Aquí hay otra idea que tuve para una prueba geométrica. Utiliza la geometría proyectiva de una manera esencial.

Deje sea un punto afín fuera de la hipersuperficie . Proyecte la hiperesuperficie en el hiperplano en el infinito usando como centro; es decir, mapee cada en , la intersección de la línea única a través de y con el hiperplano en el infinito. Los preimages bajo de un punto en el infinito se encuentran todos en la misma línea, y por lo tanto (de nuevo la reducción del problema de dimensión 1) No hay más de ellos. El hiperplano en el infinito tiene cardinalidad, entonces obtenemos el límite superior familiar. S c x ∈ S p ( x ) c x p d | F m - 1 | El | S | ≤ d | F m - 1$c \in \mathbb F^m$$S$$c$$x \in S$$p(x)$$c$$x$$p$$d$$|\mathbb F^{m-1}|$$|S| \leq d\ |\mathbb F^{m-1}|$

Como seguimiento a la respuesta de Per Vognsen, la prueba de Dana Moshkovitz ya sugiere una prueba realmente fácil para una versión ligeramente más débil del Schwartz-Zippel Lemma que, creo, es suficiente para la mayoría de las aplicaciones.

Sea un polinomio distinto de cero de grado , donde es un campo finito de orden , y sea sea ​​un punto tal que . Hay muchas líneas distintas que pasan a través de modo que dividen . La restricción de para cada una de estas líneas es un polinomio univariado de grado , que no es cero, porque no es cero en , y por lo tanto tiene como máximo ceros. Por lo tanto, el número total de ceros de$f : \mathbb{F}^n \to \mathbb{F}$$d$$\mathbb{F}$$q$$x \in \mathbb{F}^n$$f(x) \neq 0$$(q^n-1)/(q-1)$$x$$\mathbb{F}^n-\{x\}$$f$$d$ $x$$d$$f$es como máximo . Schwartz-Zippel, en comparación, proporciona el límite superior más fuerte de .$d(q^n-1)/(q-1)$$d q^{n-1}$

Dada la facilidad de esta prueba, estoy seguro de que es folklore; si no, debería ser :) Agradecería si alguien pudiera proporcionar una referencia.

La prueba de Moshkovitz se basa en una geometría simple, pero el papel no es muy claro al respecto. Aquí está la idea:

Un polinomio de grado en variables corta una hiperesuperficie en . La intersección de la hiperesuperficie y una línea independiente (es decir, la intersección no es la línea completa) tiene como máximo d puntos. Si puede encontrar una dirección que esté en todas partes independientemente de la hiperesuperficie, puede foliar por líneas paralelas en esa dirección y contar las intersecciones dentro de cada línea. La foliación está parametrizada por el complemento ortogonal de la dirección, que es un hiperplano isomorfo a , por lo que el número total de puntos de hiperesuperficie en todos es como máximo .m F m F m F m - 1 F m d | F | m - $d$$m$$\mathbb F^m$$\mathbb F^m$$\mathbb F^{m-1}$$\mathbb F^m$$d\ |F|^{m-1}$

Esto sugiere que otras pruebas a lo largo de líneas similares podrían funcionar.

Editar: Quería decir un poco sobre cómo la prueba de Arnab se relaciona con la de Moshkovitz. Toma un punto fuera de la hiperesuperficie y considera el lápiz de líneas a través de ese punto. Moshkovitz considera una familia de líneas paralelas. ¡Parece diferente pero es realmente lo mismo! Una familia paralela es un lápiz de líneas a través de un punto en el infinito. El álgebra de Arnab aplica textualmente si primero toma la homogeneización del polinomio y restringe al hiperplano en el infinito conectando , que borra todos los términos no iniciales.$w = 0$

Editar: Vea mi otra respuesta para una nueva prueba (pero no completamente no relacionada).

Intento 1:

¿Has mirado a Lemma A.36 (página 529) del libro de Arora / Barak ? Es casi media página y se basa en la inducción.

Si no tiene acceso al libro, puedo llevar a cabo la prueba aquí.

Intento 2:

¿Qué pasa con la curiosa historia del lema de Schwartz-Zippel ? Entre los otros, cita el artículo de DeMillo-Lipton , que data de 1977. Varios otros artículos también son nombrados y comparados.

Intento 3:

El siguiente tema de MathOverflow también podría ser de interés: Algoritmo P / poly para pruebas de identidad polinomiales .

El lema de Schwartz-Zippel es un caso especial de un teorema de Noga Alon y Zoltan Füredi como se muestra en la Sección 4 de este documento: Sobre ceros de un polinomio en una cuadrícula finita , y por lo tanto, cualquier nueva prueba de ese teorema da una nueva prueba de Schwartz -Zippel. A partir de ahora, conozco seis pruebas diferentes, dos de las cuales aparecen en el documento y otras se mencionan allí.

El teorema de Alon-Furedi dice lo siguiente:

Deje que sea ​​un campo, deje que sea ​​una cuadrícula finita, y deje ser un polinomio que no desaparece de forma idéntica en . Entonces para al menos elementos , donde el mínimo se toma sobre todos los enteros positivos con .$F$$A = \prod_{i=1}^n A_i \subset F^n$$f \in F[\underline{t}] = F[t_1,\ldots,t_n]$$A$$f(x) \neq 0$ x ∈ A y i ≤ # A i ∑ n i = 1 y i = ∑ n i = 1 # A i - deg $\min \prod y_i$$x \in A$$y_i \leq \# A_i$$\sum_{i=1}^n y_i = \sum_{i=1}^n \# A_i - \deg f$

En esto, si asume y el mínimo (que se puede hacer fácilmente usando las cosas de Balls in Bins mencionadas en el documento), obtendrá el lema de Schwartz-Zippel sobre un campo (o un dominio).$\deg f < \min \#A_i$

La formulación original del lema de Schwartz-Zippel solo se aplica a los campos:

Lemma (Schwartz, Zippel).
Deje ser un no-cero polinomio del total grado sobre un campo, . Deje que sea un subconjunto finito de y dejar ser seleccionado al azar de manera independiente y de manera uniforme desde . Entonces $P\in F[x_1,x_2,\ldots,x_n]$$d \geq 0$$F$$S$$F$$r_1, r_2, \dots, r_n$$S$
$\Pr[P(r_1,r_2,\ldots,r_n)=0]\leq\frac{d}{|S|}.$

Uno puede reformular el lema de manera que tenga sentido para anillos conmutativos arbitrarios:

Lemma (Jeřábek).
Deje ser un no-cero polinomio de grado total sobre un anillo conmutativo, . Sea un subconjunto finito de con y deje ser seleccionados al azar de manera independiente y de manera uniforme desde . Entonces $P\in R[x_1,x_2,\ldots,x_n]$$d \geq 0$$R$$S$$R$$\forall s, t\in S:((\exists u\in R:(u\neq 0\land su=tu))\Rightarrow s=t)$$r_1, r_2, \dots, r_n$$S$
$\Pr[P(r_1,r_2,\ldots,r_n)=0]\leq\frac{d}{|S|}.$

La ventaja de la prueba de Wikipedia es que se generaliza para mostrar que la reformulación es válida para anillos conmutativos arbitrarios, que Emil Jeřábek ha notado y elaborado aquí .

Esto proporciona una prueba alternativa del lema de Schwartz-Zippel, al probar la reformulación de los anillos conmutativos generales y obtener la formulación normal de los campos como corolario.