La complejidad del muestreo (aproximadamente) de la transformada de Fourier de una función booleana

Una cosa que las computadoras cuánticas pueden hacer (posiblemente incluso con solo circuitos cuánticos de profundidad logarítmica BPP +) es aproximar-muestrear la transformada de Fourier de una función de valor booleano en P. $\pm 1$

Aquí y más abajo, cuando hablo de probar la transformada de Fourier, me refiero a elegir x de acuerdo con . (Normalizado si es necesario y aproximadamente). $|\hat f(x)|^2$

¿Podemos describir la clase de complejidad, que podemos llamar MUESTREO P-FOURIER, de muestreo aproximado de las funciones booleanas de P? ¿Hay problemas completos para esta clase?

Dada una clase X de funciones booleanas, lo que se puede decir sobre la complejidad computacional, a la que podemos referirnos como SAMPLING-X de muestreo aproximado de la transformación de Fourier de funciones en X. (Supongo que si X es BQP, entonces X-SAMPLING es todavía dentro del poder de las computadoras cuánticas).

¿Cuáles son los ejemplos de X donde SAMPLING-X está en P? ¿Hay ejemplos interesantes donde SAMPLING-X es NP-hard?

Hay varias variantes de este problema que también pueden ser interesantes. En el lado de Fourier, en lugar de una muestra aproximada, podemos hablar sobre un problema de decisión habilitado (probabilísticamente) por muestreo aproximado. En el lado primario, podemos comenzar con una clase X de distribuciones de probabilidad y preguntar cuál es la relación entre la capacidad de muestrear aproximadamente una distribución D en X y muestrear aproximadamente la transformada de Fourier (normalizada).

En resumen, lo que se sabe sobre esta pregunta.

Actualización: Martin Schwarz señaló que si todos los coeficientes de Fourier se concentran solo en un número polinómico de entradas, entonces es posible en BPP aproximar estos coeficientes grandes (y, por lo tanto, también aproximadamente a la muestra). Esto se remonta a Goldreich-Levin, y Kushilevitz-Mansour. ¿Existen clases interesantes de funciones donde hay un algoritmo polinómico probabilístico para muestrear aproximadamente el lado de Fourier, donde los coeficientes de Fourier se extienden en más de muchos coeficientes polinómicos?

Agregado más tarde: Permítanme mencionar algunos problemas concretos.

1) ¿Qué tan difícil es muestrear aproximadamente la transformada de Fourier de las funciones booleanas en P.

a) Una pregunta que Scott Aaronson mencionó en un comentario a continuación es mostrar que esto no está en BPP. O algo más débil en el sentido de que si esta tarea está en BPP, está ocurriendo un colapso. (Scot conjetura que este es el caso).

b) Otra pregunta es mostrar que esta tarea es difícil con respecto a alguna clase de complejidad basada en la cuántica. Por ejemplo, para demostrar que si puede realizar esta tarea, puede resolver problemas de decisión en BPP asistidos con computadoras cuánticas con profundidad de registro, o algo así.

2) ¿Cuáles son las clases de funciones booleanas de modo que aproximadamente el muestreo de su transformada de Fourler está en P. Lo que sabemos es que este es el caso cuando los coeficientes de Fourier se concentran en muchos coeficientes polinómicos, pero esto parece muy restringido.

3) ¿Existe alguna clase de complejidad X en el PH que una máquina X pueda muestrear aproximadamente la transformada de Fourier de cada función que una máquina X pueda calcular?

4) Estaba especialmente interesado en el problema del muestreo de la transformada de Fourier del evento de cruce para la filtración en una cuadrícula hexagonal n por n.

— Gil Kalai
fuente

Gil, en caso de que esto sea de tu interés: antes de que Alex Arkhipov y yo comenzáramos a trabajar en BosonSampling, lo "original" que quería probar era que el problema aproximado de muestreo de Fourier, es decir, exactamente el problema que describes, no es en BPP a menos que la jerarquía polinómica se colapse. Desafortunadamente, no pude demostrar eso o incluso obtener buena evidencia de ello, lo que nos motivó a cambiar la atención a los bosones y al permanente "robusto # P-completo". Sin embargo, ahora me gustaría reiterar mi conjetura de que el muestreo aproximado de Fourier es difícil, suponiendo solo que el PH es infinito. :-)

— Scott Aaronson

Gracias, Scott, esto es muy interesante. Mencionaré su conjetura junto con algunos otros en la próxima edición de la pregunta.

— Gil Kalai

Por cierto, Scott, ¿no es el argumento a través de los permanentes que muestra que BOSONSAMPLING en BPP implica que el colapso del PH también funciona para el muestreo de Fourier?

— Gil Kalai

Gil: Sí, para algoritmos de muestreo exactos , pasa exactamente el mismo argumento. Pero para los algoritmos de muestreo aproximados, no estoy seguro: uno debería creer que el cálculo aproximado de los coeficientes de Fourier debería ser # P completo en promedio, tal como Arkhipov y yo conjeturamos que aproximar el permanente de una matriz Gaidiana iid debería ser # P-completo en promedio.

— Scott Aaronson

$\hat{f}(x)$ $O(poly(n))$ $\Omega(1/poly(n))$ $\sf{BPP}$ $\mathbb{Z}_2$

$\Omega(2^{n/2})$

— Martin Schwarz
fuente

Gracias Martin! Supongo que no se sabe lo difícil que es muestrear desde la transformación de Fouriet, incluso de las funciones AC ^ 0, ¿verdad? (En el caso de la profundidad-2, una conjetura de Mansour afirma que es polinomial (con aleatorización).

— Gil Kalai