¿Por qué la conjetura del rango logarítmico usa el rango sobre los reales?

En la complejidad de la comunicación, la conjetura de log-rank establece que

c c (M) = (\log r k (M))^{O (1)}

$cc(M) = (\log rk(M))^{O(1)}$

Donde $cc(M)$ es la complejidad de comunicación de $M(x,y)$ y $rk(M)$ es el rango de $M$ (como una matriz) sobre los reales.

Sin embargo, cuando solo está usando el método de rango para reducir el límite $cc(M)$ , puede usar $rk$ sobre cualquier campo que sea conveniente. ¿Por qué la conjetura de log-rank se restringe a rk sobre los reales? ¿Se resuelve la conjetura para $rk$ sobre campos de características distintas de cero? Si no, ¿es de interés o hay algo especial sobre $rk$ sobre $\mathbb{R}$ ?

— Artem Kaznatcheev
fuente

Por cierto, creo que debes restringir

M

$M$ para que sea binario, de lo contrario puedes inventar contraejemplos triviales.

— Sasho Nikolov

@SashoNikolov ¿Qué quiere decir por contraejemplos triviales si

M

$M$ no es

0 / 1

$0/1$ (creo que decir sobre reales)?

— T ....

{1, \dots, N}

$\{1, \ldots, N\}$

\log N

$\log N$

1

$1$

x

$x$

y

$y$

f (x, y)

$f(x,y)$

M

$M$

1

$1$

f (x, y) = x

$f(x, y) = x$

x

$x$

y

$y$

n

$n$

f

$f$

n

$n$

$\mathbb{F}_2$ $M(x, y) = \langle x, y \rangle \bmod 2$ $x, y \in \{0, 1\}^n$ $\Omega(n)$ $M$ $\mathbb{F}_2$ $n$

— Sasho Nikolov
fuente