Algoritmos constructivamente eficientes sin corrección eficiente y prueba de eficiencia

Estoy buscando ejemplos naturales de algoritmos eficientes (es decir, en tiempo polinómico) st

su corrección y eficiencia pueden demostrarse de manera constructiva (p. ej., en o ), pero $PRA$ $HA$
no se conoce ninguna prueba que utilice solo conceptos eficientes (es decir, no sabemos cómo demostrar su corrección y eficiencia en o ). $TV^0$ $S^1_2$

Puedo hacer ejemplos artificiales yo mismo. Sin embargo, quiero ejemplos naturales interesantes, es decir, algoritmos estudiados por sí mismos, no creados solo para responder a este tipo de preguntas.

— Kaveh
fuente

¿Quizás algo de la teoría de autómatas, donde un algoritmo es fácil, pero para demostrar que funciona uno necesita considerar todos los subconjuntos de algo u otro?

— Andrej Bauer

¿Qué hay de la comprobación de primalidad en tiempo polinómico? ¿Es probable que esa prueba sea lo suficientemente complicada como para ser difícil de mantener dentro de ?

S_{2}^{1}

$S^1_2$

— Andrej Bauer

@Neel, en realidad la tesis de Emil " Principio de agujero de paloma débil y computación aleatoria " se trata de formalizar algoritmos probabilísticos. Un axioma principal necesario para formalizar algunos de estos parece ser el recuento aproximado que no forma parte de o . Creo que podría ser más simple seguir el caso determinista de polytime con y .

T V^{0}

$TV^0$

S_{2}^{1}

$S^1_2$

T V^{0}

$TV^0$

S_{2}^{1}

$S^1_2$

— Kaveh

pd: Sería más interesante si pudiéramos demostrar que la corrección / eficiencia de los algoritmos no es demostrable en estas teorías, o al menos son equivalentes a declaraciones que se cree que no pueden demostrarse en ellas. Sin embargo, pedir eso probablemente sea demasiado con lo que sabemos actualmente.

— Kaveh

@Neel, la mayor parte de la probabilidad relevante se puede hacer en sistemas de primer orden ya que nunca se necesita saber la probabilidad exacta de un evento, por lo general solo se necesita comparar esa probabilidad con ciertos números racionales.

— François G. Dorais

Respuestas:

Esta es la misma idea que la respuesta de Andrej pero con más detalles.

Krajicek y Pudlak [ LNCS 960, 1995, pp. 210-220 ] han demostrado que si es una propiedad que define primos en el modelo estándar y $P(x)$ $\Sigma^b_1$

S_{2}^{1} ⊢ \neg PAG (X) \to (\exists y_{1}, y_{2}) (1 < y_{1}, y_{2} < X \land X = y_{1} y_{2})

$S^1_2 \vdash \lnot P(x) \to (\exists y_1,y_2)(1 < y_1, y_2 < x \land x = y_1y_2)$ entonces hay un algoritmo de factorización de tiempo polinómico. Esto da un montón de ejemplos, ya que cualquier algoritmo NP para pruebas de primitividad básicamente produce una fórmula

. En particular, la prueba de primalidad AKS proporciona dicha fórmula (cuando se reformula adecuadamente en el lenguaje de

). El artículo de Krajicek y Pudlak ofrece más ejemplos relacionados con la criptografía de este tipo, pero es anterior a AKS y a los avances relacionados en unos pocos años.

Σ_{1}^{b}

$\Sigma^b_1$

S_{2}^{1}

$S^1_2$

— François G. Dorais
fuente

$\mathrm{TC}^0$ $\mathit{VTC}^0$

$\mathit{TV}^0$ $\mathit{VTC}^0$ $\mathrm{TC}^0$

$\left(\frac an\right)$

$p$ $\left(\frac ap\right)=1$ $a$ $p$

$S^1_2$

Otra clase de ejemplos está dada por las pruebas de irreductibilidad y los algoritmos de factorización para polinomios (principalmente sobre campos finitos y sobre los racionales). Estos dependen invariablemente del pequeño teorema de Fermat o de sus generalizaciones (entre otras), y como tales no se sabe que son formalizables en una teoría apropiada de la aritmética limitada. Por lo general, estos algoritmos son aleatorios, pero para ejemplos de tiempo polinomial determinista, uno puede tomar la prueba de irreductibilidad de Rabin o el algoritmo de raíz cuadrada Tonelli-Shanks (formulado para que se requiera un no residuo cuadrático como parte de la entrada).

— Emil Jeřábek apoya a Monica
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La prueba de primalidad de AKS parece un buen candidato si se cree en Wikipedia.

Sin embargo, esperaría que tal ejemplo fuera difícil de encontrar. Las pruebas existentes se redactarán de modo que obviamente no se realicen en aritmética acotada, pero probablemente serán "adaptables" a la aritmética acotada con más o menos esfuerzo (generalmente más).

— Andrej Bauer
fuente

S_{2}^{1}

$S^1_2$

S_{2}^{1}

$S^1_2$

S_{2}^{1}

$S^1_2$

Hay un maravilloso artículo de Krajicek y Pudlak que da muchos ejemplos más: karlin.mff.cuni.cz/~krajicek/j-crypto.ps

— François G. Dorais

@ François, ¿por qué no publicar una respuesta? :)

— Kaveh

Entonces, obtengo el mayor recuento de votos por hacer una suposición temprana de suerte, mientras que otros realmente saben lo que está sucediendo. Las matemáticas son como MTV.

— Andrej Bauer el