Una propiedad básica de los espacios vectoriales es que un espacio vectorial de dimensión n - d puede caracterizarse por d restricciones lineales linealmente independientes, es decir, existen d vectores linealmente independientes w 1 , ... , w d ∈ F n 2 que son ortogonales a V .
Desde una perspectiva de Fourier, esto es equivalente a decir que la función del indicador de V tiene d coeficientes de Fourier linealmente independientes distintos de cero. Tenga en cuenta que 1 V tiene 2 d coeficientes de Fourier distintos de cero en total, pero solo d de ellos son linealmente independientes.
Estoy buscando una versión aproximada de esta propiedad de espacios vectoriales. Específicamente, estoy buscando una declaración de la siguiente forma:
Sea de tamaño 2 n - d . Entonces, la función del indicador 1 S tiene como máximo d ⋅ log ( 1 / ε ) coeficientes de Fourier linealmente independientes cuyo valor absoluto es al menos ε .
Esta pregunta se puede ver desde una perspectiva de "Estructura vs. Aleatoriedad". Intuitivamente, tal afirmación dice que cada conjunto grande puede descomponerse en una suma de un espacio vectorial y un pequeño conjunto sesgado. Es bien conocido que cada función se puede descomponer en una "parte lineal" de los cuales tiene p o l y ( 1 / varepsilon ) grandes coeficientes de Fourier, y una "parte pseudoaleatorio" que tiene pequeño sesgo . Mi pregunta es si la parte lineal solo tiene un número logarítmico de coeficientes de Fourier linealmente independientes .