Coeficientes de Fourier linealmente independientes


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Una propiedad básica de los espacios vectoriales es que un espacio vectorial de dimensión n - d puede caracterizarse por d restricciones lineales linealmente independientes, es decir, existen d vectores linealmente independientes w 1 , ... , w dF n 2 que son ortogonales a V .VF2nndddw1,,wdF2nV

Desde una perspectiva de Fourier, esto es equivalente a decir que la función del indicador de V tiene d coeficientes de Fourier linealmente independientes distintos de cero. Tenga en cuenta que 1 V tiene 2 d coeficientes de Fourier distintos de cero en total, pero solo d de ellos son linealmente independientes.1VVd 1V2dd

Estoy buscando una versión aproximada de esta propiedad de espacios vectoriales. Específicamente, estoy buscando una declaración de la siguiente forma:

Sea de tamaño 2 n - d . Entonces, la función del indicador 1 S tiene como máximo d log ( 1 / ε ) coeficientes de Fourier linealmente independientes cuyo valor absoluto es al menos ε .SF2n2nd1Sdlog(1/ε) ε

Esta pregunta se puede ver desde una perspectiva de "Estructura vs. Aleatoriedad". Intuitivamente, tal afirmación dice que cada conjunto grande puede descomponerse en una suma de un espacio vectorial y un pequeño conjunto sesgado. Es bien conocido que cada función se puede descomponer en una "parte lineal" de los cuales tiene p o l y ( 1 / varepsilon ) grandes coeficientes de Fourier, y una "parte pseudoaleatorio" que tiene pequeño sesgo . Mi pregunta es si la parte lineal solo tiene un número logarítmico de coeficientes de Fourier linealmente independientes .f:F2nF2poly(1/ε)


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Hola, ¿podría dar una referencia a su último reclamo de que cada función se puede descomponer en una parte lineal + parte pseudoaleatoria? ¡Gracias!
Henry Yuen

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No estoy seguro de dónde apareció por primera vez. Es un corolario directo de la desigualdad de Parseval: a partir de Parseval, se obtiene que cada función booleana tiene como máximo caracteres cuyos coeficientes de Fourier tienen un valor absoluto de al menos ε . Ahora, tome la parte "lineal" como la suma de los últimos caracteres (con los mismos coeficientes), y la "parte pseudoaleatoria" como la suma de todos los demás caracteres (con los mismos coeficientes). 1/ε2ε
O Meir el

Respuestas:


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¿No es el siguiente un contraejemplo?

Sea la mayoría de x 1 , ... , x 1 / ϵ 2 , que es un indicador de un conjunto de tamaño 2 n / 2 , entonces d = 1 . Sin embargo, f ( { i } ) = Θ ( ε ) para 1 i 1 / ε 2 , por lo que tiene 1 / ε 2f(x)x1,,x1/ϵ22n/2d=1f^({i})=Θ(ϵ)1i1/ϵ21/ϵ2 Coeficientes de Fourier grandes linealmente independientes.


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Quizás quiera lo que a veces se llama "Lema de Chang" o "Lema de Talagrand" ... llamado "Desigualdad de nivel 1" aquí: http://analysisofbooleanfunctions.org/?p=885

Implica que si tiene una media de 2 - d, entonces el número de coeficientes de Fourier linealmente independientes cuyo cuadrado es al menos γ 2 - d es como máximo O ( d / γ 2 ) . (Esto se debe a que una transformación lineal F 2 en la entrada no cambia la media, por lo que siempre puede mover caracteres de Fourier linealmente independientes al grado 1).1S2dγ2dO(d/γ2)F2


¡Muchas gracias! Definitivamente está cerca de lo que buscaba, pero para la aplicación que tenía en mente era crucial tener una dependencia logarítmica de (que en su notación también implicaría dependencia logarítmica de γ ). Por desgracia, el ejemplo de Per muestra que esto no es posible. ϵγ
O Meir el
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