¿La aleatoriedad nos compra algo dentro de P?

Sea la clase de los problemas de decisión que tienen un algoritmo aleatorio de error de dos lados limitado que se ejecuta en el tiempo . $\mathsf{BPTIME}(f(n))$ $O(f(n))$

¿Conocemos algún problema tal que pero ? ¿Está comprobada su inexistencia? $Q \in \mathsf{P}$ $Q \in \mathsf{BPTIME}(n^k)$ $Q \not \in \mathsf{DTIME}(n^k)$

Esta pregunta se hizo en cs.SE aquí , pero no obtuvo una respuesta satisfactoria.

— aelguindy
fuente

(1) BPP (f (n)) generalmente se denota como BPTIME (f (n)). (2) En la configuración de la complejidad computacional, creo que esto está abierto. (Se conocen muchos ejemplos en la complejidad de la consulta y la configuración de la complejidad de la comunicación). (3) Si su inexistencia ya se hubiera probado, entonces sabríamos que P = BPP.

— Tsuyoshi Ito

Por cierto, en la pregunta en cs.stackexchange.com, tiene algunos malentendidos sobre la relación entre BPTIME y ZPTIME, y eso podría ser parte de la razón por la que no ha recibido una respuesta satisfactoria.

— Tsuyoshi Ito

Gracias @TsuyoshiIto, no estoy de acuerdo que si demostramos inexistencia entonces sabemos , estoy restringiendo el ajuste a problemas en . Tal vez, , mientras que en general, ¿me estoy perdiendo algo? Podría también complacer a punto de salir de mi malentendido sobre y , tal vez me perdí una respuesta satisfactoria de hecho ..

P = B P P

$P=BPP$

P

$P$

B P T I M E (n^{k}) \cap P = D T I M E (n^{k})

$BPTIME(n^k) \cap P = DTIME(n^k)$

B P T I M E (n^{k}) \neq D T I M E (n^{k})

$BPTIME(n^k) \neq DTIME(n^k)$

B P T I M E

$BPTIME$

Z P T I M E

$ZPTIME$

— aelguindy

Su pregunta no dice que restringe el problema Q para que esté dentro de P. Si esa es su intención, edite la pregunta.

— Tsuyoshi Ito

Para aproximar la mediana de 1 de un espacio métrico finito con pocas consultas a la función de distancia, un punto aleatorio proporciona una aproximación de 2 en expectativa y un (2 + eps) -prox con buena probabilidad. Pero ningún algoritmo determinista que consulta la función de distancia veces puede hacerlo mejor que una aproximación de 4. [ Chang 2013 ]

o (n^{2})

$o(n^2)$

— Neal Young

Respuestas:

Otro ejemplo es estimar el volumen de un poliedro en altas dimensiones. Hay un límite inferior incondicional en las estrategias deterministas para aproximar el volumen incluso a un factor exponencial, pero hay un FPRAS para el problema.

Actualización: el documento relevante es (enlace a PDF ):

I. Barany y Z. Furedi. Calcular el volumen es difícil, Geometría discreta y computacional 2 (1987), 319-326.

— Suresh Venkat
fuente

¿Podría proporcionar una referencia para el límite inferior incondicional?

— T ....

referencia agregada

— Suresh Venkat

Problema : Una matriz consta de 1s y 0s. Encuentre una tal que sea 1. $A[1..2n]$ $n$ $n$ $i$ $A[i]$

Se le permite consultar '¿Qué número está presente en '? Cada consulta lleva tiempo constante. $A[i]$

Solución : Algoritmo aleatorizado: elija un índice aleatorio y compruebe si es 1. El número esperado de consultas es 2, pero cualquier algoritmo determinista debe realizar al menos consultas. Por lo tanto, el límite superior aleatorizado es estrictamente mejor que el límite inferior determinista en este modelo. $i$ $A[i]$ $n$

Este es un ejemplo de la complejidad de la consulta a la que Tsuyoshi se refería en el comentario.

— Jagadish
fuente

Cualquier algoritmo determinista debe hacer al menos consultas en el peor de los casos .

n

$n$

— argentpepper

¿Qué quiere decir con "actualmente no conocemos ninguna prueba de límite inferior no trivial para cualquier problema en NP (y mucho menos P)"?

— Kristoffer Arnsfelt Hansen

Tal vez usé la palabra 'no trivial' descuidadamente. Quise decir 'Actualmente, no podemos probar un límite inferior incondicional de para para SAT o cualquier problema en NP'. ¿Es eso correcto?

Ω (n^{k})

$\Omega(n^k)$

k > 0

$k>0$

— Jagadish

Bueno, tal vez no para problemas "agradables" como el SAT; pero recuerde que tenemos límites inferiores para otros problemas de los teoremas de la jerarquía de tiempo. Y la pregunta no es sobre problemas "agradables", sino sobre clases de complejidad.

— Kristoffer Arnsfelt Hansen

Ah bien. Asumí que OP estaba interesado en problemas naturales. He editado mi respuesta.

— Jagadish

$n\times n$ $\epsilon$

$O(n\log^2(n)/\epsilon^2)$

Vea también Algoritmos aleatorios eficientes y simples donde el determinismo es difícil .

— Neal Young
fuente