Construyendo vectores en posición general

Deje una matriz real ( ) con la propiedad de que cualquier colección de columnas es de rango completo. $k\times n$ $k\le n$ ${\bf A}$ $k$

P: ¿Hay una manera eficiente de encontrar determinísticamente un vector ${\bf a}$ modo que la matriz aumentada ${\bf A}' = [{\bf A}\;{\bf a}]$ conserve la misma propiedad que ${\bf A}$ : cualquier columna $k$ tiene rango completo.

Nota importante: una matriz que tiene esta propiedad es el generador de un código Reed-Solomon $(n,k)$ : agregar columnas que preserven su estructura Vandermonde conserva la propiedad de rango.

— Dimitris
fuente

No estoy seguro si entiendo tu punto. Necesito

k \leq n

$k\le n$ ,

k = n

$k=n$ no es un problema.

— Dimitris el

@ Jɛ ﬀ E k no cambia: en el caso de k = n, solo n de las (ahora) n + 1 columnas deben tener rango completo. En este caso, el problema debería ser fácil: encuentre una transformación afín de la matriz en una base ortogonal de R ^ n, y luego deje que sea el vector cuya imagen debajo de este sea el vector de todos los 1s.

— Suresh Venkat

Me parece que esta debería ser una forma de hacerlo a través del Grassmanian, pero no entiendo cómo.

— Suresh Venkat

@Suresh Sí, de hecho, para el caso n = k + 1 parece ser solucionable de la manera que usted menciona. O simplemente puede elegir para estar en el espacio nulo de todas las colecciones de vectores , .

a

${\bf a}$

k

$k$

(k - 1)

$(k-1)$

— Dimitris el

buena pregunta. Suena como una versión más débil del problema de verificar la propiedad de isometría restringida, que está completamente abierta hasta donde yo sé.

— Sasho Nikolov

Si elige uniformemente al azar del hipercubo , la matriz tendrá la propiedad deseada con probabilidad . $\mathbf{a}$ $[0,1]^n$ $[\mathbf{A}~ \mathbf{a}]$ $1$

— Jeffε
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No puedo sino estar de acuerdo :). El problema surge cuando desea verificar que tal vector funcione (no importa si lo hace). Debe verificar subconjuntos de columnas. Este problema de verificación se vuelve más relevante cuando considera campos finitos (de orden fijo), pero traté de evitar hablar de ellos.

(\binom{n}{k})

${{n}\choose{k}}$

— Dimitris el

La pregunta específicamente pide un algoritmo determinista eficiente . Si responde algo relacionado pero no cumple con la condición establecida en la pregunta, debe decirlo explícitamente en mi opinión.

— Tsuyoshi Ito

@ Tsuyoshi ¿A qué, no te gustan los gatitos? :)

— Suresh Venkat

@Suresh: En la práctica, sería divertido si mi computadora de repente se convierte en un gatito. En teoría, sin embargo, primero debes definir un gatito.

— Tsuyoshi Ito

@ Jɛ ﬀ E Tal vez debería haber aclarado por qué esta pregunta es de algún interés. La verdadera pregunta es la misma pero sobre campos finitos, pero tiendo a pensar que los campos complican las preguntas de álgebra lineal. La aplicación es el diseño de matrices generadoras de códigos "buenas". Se puede mostrar que los aleatorios (entradas iid) satisfacen la propiedad whp, utilizando herramientas como el lema Schwartz – Zippel. Para este problema, SZ generalmente requiere órdenes de campo de y no puede verificar eficientemente que las matrices realmente funcionan. ¿Porque es esto importante? Debido a que los códigos que probablemente sean confiables algunas veces no son preferidos.

O (2^{k})

$O(2^k)$

— Dimitris