En

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EDITAR (por Tara B): Todavía estaría interesado en una referencia a una prueba de esto, ya que tuve que demostrarlo yo mismo para mi propio artículo.

Estoy buscando la prueba del Teorema 4 que aparece en este documento:

Una jerarquía infinita de intersecciones de lenguajes sin contexto por Liu y Weiner.

Teorema 4: Un múltiple afín dimensional no se puede expresar como una unión finita de múltiples afines, cada uno de los cuales tiene una dimensión o menor. $n$ $n-1$

¿Alguien sabe una referencia a la prueba?
Si la variedad es finita y definimos un orden natural en los elementos, ¿hay alguna afirmación similar en términos de redes?

Algunos antecedentes para comprender el teorema:

Definición: Sea el conjunto de números racionales. Un subconjunto es un colector afín si cuando , , y . $\mathbb{Q}$ $M\subseteq \mathbb{Q}^n$ $(\lambda x+(1-\lambda)y)\in M$ $x\in M$ $y\in M$ $\lambda\in\mathbb{Q}$

Definición: Se dice que un múltiple afín es paralelo a un múltiple afín si para alguna . $M'$ $M$ $M'=M+a$ $a\in \mathbb{Q}^n$

Teorema: cada múltiple afín no vacío es paralelo a un subespacio único . Esta viene dada por $M\subseteq \mathbb{Q}^n$ $K$ $K$ $K=\{x-y:x,y\in M\}$

Definición: La dimensión de un múltiple afín no vacío es la dimensión del subespacio paralelo a él.

— Marcos Villagra
fuente

Sé que esta es una pregunta bastante antigua, pero acabo de encontrarla hoy y solo quería preguntarte si estabas leyendo ese periódico por alguna razón en particular. (Resulta estar muy relacionado con algunas de mis investigaciones).

— Tara B

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Intuitivamente, el teorema dice que una línea no es una unión finita de puntos, un plano no es una unión finita de líneas, etc. La prueba más simple es observar, por ejemplo, que una unión finita de líneas tiene área cero, mientras que un El avión no.

$\mathbb{R}^n$ $M\subseteq \mathbb{Q}^n$ $A x = b$ $\mathbb{R}^n$

$d$ $\le d - 1$ $d$ $d$ $d$

$\mathbb{F}$ $d$ $\mathbb{F}^n$ $|\mathbb{F}|^d$ $|\mathbb{F}|^d/|\mathbb{F}|^{d-1}=|\mathbb{F}|$ $\le d - 1$ $d$

— david
fuente

¡¡Gracias!! Esto responde ambas preguntas. Lo que he querido decir (muy poco claro) en la segunda pregunta fue "qué pasaría si en lugar de una variedad afín tuviéramos un conjunto convexo finito". Pero aún así, su respuesta despejó mis dudas.

— Marcos Villagra

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$\mathbb F$

$n\ge0$ $A\subseteq\mathbb F^m$ $n$ $n$

$n=0$

$n$ $n+1$ $A=\bigcup_{i<k}A_i$ $\dim(A)=n+1$ $\dim(A_i)\le n$ $B\subset A$ $n$ $B=\bigcup_i(B\cap A_i)$ $\dim(B\cap A_i)=n$ $i<k$ $B=A_i$ $k$ $A_i$ $B$ $A$ $n$ $B_0$ $v$ $A$ $B_0$ $A$ $B_0+av$ $a\in\mathbb F$

— Emil Jeřábek
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buena prueba alternativa!

— Marcos Villagra

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No, esta es la prueba y la otra es alternativa porque arrastra la teoría de la medida :-)

— Andrej Bauer

Ahhh ya veo, buen punto

— Marcos Villagra