¿Existe una versión de prueba de equivalencia simple de la prueba de Kolmogorov-Smirnov?

¿Se han enmarcado dos pruebas de equivalencia unilateral (TOST) para la prueba de Kolmogorov-Smirnov para probar la hipótesis nula negativista de que dos distribuciones difieren al menos en un nivel específico del investigador?

Si no es TOST, ¿alguna otra forma de prueba de equivalencia?

Nick Stauner señala sabiamente que (ya debería saber;) que hay otras pruebas de equivalencia TOST no paramétricas para hipótesis nulas de equivalencia estocástica y, con supuestos más restrictivos, para equivalencia mediana.

kolmogorov-smirnov equivalence tost

— Alexis
fuente

Relacionado: ¿ Pruebas de equivalencia para datos no normales?

— Nick Stauner

Ok, aquí está mi primer intento. ¡Un escrutinio cercano y comentarios apreciados!

Las hipótesis de dos muestras
Si podemos enmarcar las pruebas de hipótesis de Kolmogorov-Smirnov unilaterales de dos muestras , con hipótesis nulas y alternativas a lo largo de estas líneas:

H , y $_{0}\text{: }F_{Y}\left(t\right) \geq F_{X}\left(t\right)$

H , para al menos una , donde: $_{\text{A}}\text{: }F_{Y}\left(t\right) < F_{X}\left(t\right)$ $t$

$D^{-}=\left|\min_{t}\left(F_{Y}\left(t\right) - F_{X}\left(t\right)\right)\right|$ $_0\text{: }F_{Y}\left(t\right) \geq F_{X}\left(t\right)$
la estadística de prueba corresponde a H ; y $D^{+}=\left|\max_{t}\left(F_{Y}\left(t\right) - F_{X}\left(t\right)\right)\right|$ $_0\text{: }F_{Y}\left(t\right) \leq F_{X}\left(t\right)$
$F_{Y}\left(t\right)$ y son los CDF empíricos de las muestras y , $F_{X}\left(t\right)$ $Y$ $X$

entonces debería ser razonable crear una hipótesis de intervalo general para una prueba de equivalencia a lo largo de estas líneas (suponiendo que el intervalo de equivalencia sea simétrico por el momento):

H , y $^{-}_0\text{: }\left|F_{Y}\left(t\right) - F_{X}\left(t\right)\right| \geq \Delta$

H , para al menos una . $^{-}_{\text{A}}\text{: }\left|F_{Y}\left(t\right) - F_{X}\left(t\right)\right| < \Delta$ $t$

Esto se traduciría en las dos hipótesis nulas "negativistas" unilaterales específicas para probar la equivalencia (estas dos hipótesis toman la misma forma, ya que tanto como son estrictamente no negativas): $D^{+}$ $D^{-}$

H , o $^{-}_{01}\text{: }D^{+} \geq \Delta$

H . $^{-}_{02}\text{: }D^{-} \geq \Delta$

Rechazando tanto H y H llevaría a concluir que . Por supuesto, el intervalo de equivalencia no necesita ser simétrico, y y podrían reemplazarse con (inferior) y (superior) para las respectivas hipótesis nulas unilaterales. $^{-}_{01}$ $^{-}_{02}$ $-\Delta < F_{Y}\left(t\right) - F_{X}\left(t\right) < \Delta$ $-\Delta$ $\Delta$ $\Delta_{2}$ $\Delta_{1}$

Las estadísticas de prueba (Actualizado: Delta está fuera del signo de valor absoluto)
Las estadísticas de prueba y (dejando implícitos y ) corresponden a H y H , respectivamente, y son: $D^{+}_{1}$ $D^{-}_{2}$ $n_{Y}$ $n_{X}$ $^{-}_{01}$ $^{-}_{02}$

$D^{+}_{1} = \Delta - D^{+} = \Delta - \left|\max_{t}\left[\left(F_{Y}\left(t\right) - F_{X}\left(t\right)\right)\right]\right|$ y

$D^{-}_{2} = \Delta - D^{-} = \Delta - \left|\min_{t}\left[\left(F_{Y}\left(t\right) - F_{X}\left(t\right)\right)\right]\right|$

El umbral de equivalencia / relevancia
El intervalo —o , si se usa un intervalo de equivalencia asimétrica — se expresa en unidades de y , o la magnitud de las probabilidades diferenciadas. A medida que y acercan al infinito, el CDF de o para acerca a para , y para : $[-\Delta, \Delta]$ $[\Delta_{2}, \Delta_{1}]$ $D^{+}$ $D^{-}$ $n_{Y}$ $n_{X}$ $D^{+}$ $D^{-}$ $n_{Y},n_{X}$ $0$ $t<0$ $t \ge 0$

lim_{n_{Y}, n_{X} \to \infty} p^{+} = P (\sqrt{\frac{n_{Y} n_{X}}{n_{Y} + n_{X}}} D^{+} \leq t) = 1 - e^{- 2 t^{2}}

$\lim_{n_{Y},n_{X}\to \infty}p^{+} = \text{P}\left(\sqrt{\frac{n_{Y}n_{X}}{n_{Y}+n_{X}}}D^{+} \le t\right) = 1 - e^{-2t^{2}}$

$CDF de $ D ^ {+} $ (o $ D ^ {-} $)$

Por lo tanto, me parece que el PDF para con escala de tamaño de muestra (o con escala de tamaño de muestra ) debe ser para y para : $D^{+}$ $D^{-}$ $0$ $t<0$ $t \ge 0$

f (t) = 1 - e^{- 2 t^{2}} \frac{d}{d t} = 4 t e^{- 2 t^{2}}

$f(t) = {1 - e^{-2t^{2}}}\frac{d}{dt} = 4te^{-2t^{2}}$

$PDF de $ D ^ {+} $ (o $ D ^ {-} $)$

Glen_b señala que esta es una distribución de Rayleigh con . Entonces, la función de cuantiles de muestra grande para y escala de tamaño de muestra es: $\sigma=\frac{1}{2}$ $D^{+}$ $D^{-}$

{CDF}^{- 1} = Q (p) = \sqrt{\frac{- \ln (1 - p)}{2}}

$\text{CDF}^{-1} = Q\left(p\right) = \sqrt{\frac{-\ln{\left(1 - p\right)}}{2}}$

y una elección liberal de podría ser el valor crítico , y una elección más estricta es el valor crítico . $\Delta$ $Q_{\alpha}+\sigma/2 = Q_{\alpha}+\frac{1}{4}$ $Q_{\alpha}+\sigma/4=Q_{\alpha}+\frac{1}{8}$

— Alexis
fuente

En la línea donde pasas del cdf al pdf, creo que te equivocaste. Deje , entonces (abusando notación), en el límite . Entonces (tenga en cuenta la después de ). (tenga en cuenta también un signo que falta en el exponente en la línea sobre la toma de la derivada. Además, no estoy seguro de por qué tiene un símbolo integral allí, pero tal vez no

K_{n_{Y}, n_{X}} = \sqrt{\frac{n_{Y} n_{X}}{n_{Y} + n_{X}}} D^{+}

$K_{n_{Y},n_{X}}=\sqrt{\frac{n_{Y}n_{X}}{n_{Y}+n_{X}}}D^{+}$

P (K_{\infty, \infty} \leq t) = 1 - e^{- 2 t^{2}}

$P(K_{\infty,\infty}\leq t) = 1 - e^{-2t^{2}}$

f_{K} (t) = \frac{d}{d t} 1 - e^{- 2 t^{2}} = 4 t e^{- 2 t^{2}}

$f_K(t) = \frac{d}{dt} 1 - e^{-2t^2} = 4t\, e^{-2t^2}\quad$

t

$t$

4

$4$

— entendí

@stochazesthai y son dos estadísticas de prueba unilaterales. Por TOST, debe rechazar las dos hipótesis nulas a las que se aplican estas estadísticas de prueba. es un valor crítico de CDF en la línea anterior, y donde desea sub en para (por ejemplo, ). La elección de depende de qué tan lejos pase (el valor de rechazo crítico para un viejo positivista simple ) debe ir, antes de concluir la diferencia relevante (por ejemplo, 'equivalencia' liberal es

D_{1}

$D_{1}$

D_{2}

$D_{2}$

Q_{α}

$Q_{\alpha}$

^{- 1}

$^{-1}$

1 - α

$1-\alpha$

p

$p$

Q_{α} = \sqrt{\frac{- \ln (1 - (1 - α))}{2}}

$Q_{\alpha} = \sqrt{\frac{-\ln{(1-(1-\alpha))}}{2}}$

Δ

$\Delta$

Q_{α}

$Q_{\alpha}$

H_{0}

$H_{0}$

\frac{1}{4}

$\frac{1}{4}$

σ

$\sigma$ más allá de ).

Q_{α}

$Q_{\alpha}$

— Alexis

@stochazesthai (Continuación) Entonces, si tanto como , entonces rechaza .

D_{1} \geq Δ

$D_{1} \ge \Delta$

D_{2} \geq Δ

$D_{2} \ge \Delta$

H_{0}^{-}

$H_{0}^{-}$

— Alexis

@stochazesthai ¡Vaya! Debería haber puesto las comillas alrededor de la palabra liberal en lugar de equivalencia dos comentarios atrás. :)

— Alexis

@stochazesthai Si , rechace , si , no rechace . Si , rechace , si , no rechace . Si rechaza y , entonces rechace , de lo contrario no podrá rechazar .

D_{1} \geq Δ

$D_{1} \ge \Delta$

H_{01}^{-}

$H^{-}_{01}$

D_{1} < Δ

$D_{1} < \Delta$

H_{01}^{-}

$H^{-}_{01}$

D_{2} \geq Δ

$D_{2} \ge \Delta$

H_{02}^{-}

$H^{-}_{02}$

D_{2} < Δ

$D_{2} < \Delta$

H_{02}^{-}

$H^{-}_{02}$

H_{01}^{-}

$H^{-}_{01}$

H_{02}^{-}

$H^{-}_{02}$

H_{0}^{-}

$H^{-}_{0}$

H_{0}^{-}

$H^{-}_{0}$

— Alexis

Una alternativa a TOST en las pruebas de equivalencia se basa en el enfoque del intervalo de confianza:

Supongamos que denota el margen de equivalencia preespecificado y la distancia de Kolmogorov-Smirnov entre las funciones de distribución subyacentes desconocidas. $\Delta$

θ := sup_{t} | F_{X} (t) - F_{Y} (t) |

$\theta := \sup_t |F_X(t) - F_Y(t)|$

Ahora, si un intervalo de confianza del 90% para está completamente dentro de , entonces podemos estar 95% seguros de que está lo suficientemente cerca de 0 como para hablar de "equivalencia". $\theta$ $[-\Delta, \Delta]$ $\theta$

Sin conocer las distribuciones subyacentes, que parece ser sin esperanza para derivar un intervalo de confianza analítica aproximada, así que puede que tenga que confiar en (sesgo corregido) intervalos de confianza bootstrap basados en remuestreo a partir de pares y . (Sin embargo, no quiero encontrar condiciones para su validez en esta aplicación en particular ...) $X$ $Y$

— Michael M
fuente

Excelente. ¿Tiene alguna cita para alguien que realice el CI de (bootstrap o de otro modo)?

D_{n_{1}, n_{2}}

$D_{n_{1},n_{2}}$

— Alexis

Buen punto ... El breve documento tomswebpage.net/images/K-S_test.doc menciona el "Manual de procedimientos estadísticos paramétricos y no paramétricos, quinta edición de David J.Sheskin (27 de abril de 2011)". para ofrecer una construcción de caso de dos muestras para D. Pero por el momento, no tengo acceso a este libro.

— Michael M