¿Cuál es el CDF de dos muestras de

Estoy tratando de entender cómo obtener los valores para la prueba unilateral de Kolmogorov-Smirnov , y estoy luchando por encontrar CDF para y en el caso de dos muestras. Lo siguiente se cita en algunos lugares como el CDF para en un caso de una muestra: $p$ $D^{+}_{n_{1},n_{2}}$ $D^{-}_{n_{1},n_{2}}$ $D^{+}_{n}$

p_{n}^{+} (x) = P (D_{n}^{+} \geq x | H_{0}) = x \sum_{j = 0}^{⌊ n (1 - x) ⌋} (\binom{n}{j}) {(\frac{j}{n} + x)}^{j - 1} {(1 - x - \frac{j}{n})}^{n - j}

$p^{+}_{n}\left(x\right) = \text{P}\left(D^{+}_{n} \ge x | \text{H}_{0}\right) = x\sum_{j=0}^{\lfloor n\left(1-x\right)\rfloor}{ \binom{n}{j} \left(\frac{j}{n}+x\right)^{j-1}\left(1 - x - \frac{j}{n}\right)^{n-j}}$

Además, mientras haya una formulación ligeramente diferente de este CDF de una muestra (estoy sustituyendo $x$ por $t$ en su cita por coherencia con mi notación aquí):

Usando la transformación integral de probabilidad, Donald Knuth deriva su distribución (común) en la p. 57 y ejercicio 17 de TAoCP Volumen 2. Cito:

(D_{n}^{+} \leq \frac{x}{\sqrt{n}}) = \frac{x}{n^{n}} \sum_{c \leq k \leq x} (\binom{n}{k}) {(k - x)}^{k} {(x + n - k)}^{n - k - 1}

$\left(D^{+}_{n}\le \frac{x}{\sqrt{n}}\right)=\frac{x}{n^{n}}\sum_{c\le k\le x}\binom{n}{k}\left(k-x\right)^{k}\left(x+n-k\right)^{n-k-1}$

Esto se aplicaría a hipótesis unilaterales en el caso de una muestra, como: H $_{0}\text{: }F(x)-F_{0} \le 0$ , donde $F(x)$ es el CDF empírico de $x$ , y $F_{0}$ es algo de CDF.

Creo que la $x$ en este caso es el valor de $D^{+}_{n}$ en la muestra de uno, y que $\lfloor n\left(1-x\right)\rfloor$ es el número entero más grande en $n-nx$ . (¿Está bien?)

Pero, ¿cuál es el CDF para (o ) cuando uno tiene dos muestras? Por ejemplo, cuando H para los CDF empíricos de y ? ¿Cómo obtener ? $D^{+}_{n_{1},n_{2}}$ $D^{-}_{n_{1},n_{2}}$ $_{0}\text{: }F_{A}(x)-F_{B}(x) \le 0$ $A$ $B$ $p^{+}_{n_{1},n_{2}}$

self-study kolmogorov-smirnov cdf

— Alexis
fuente

Solo como un indicador para cualquiera que esté buscando responder a esta pregunta: mi respuesta a la pregunta anterior de Alexis (que está vinculada en la pregunta anterior) tiene enlaces a varias referencias con una discusión de la historia, cada una con una serie de referencias relevantes. Puede consultar esos documentos y su lista de referencias.

— Glen_b -Reinstate Monica

@Glen_b ¡Gracias! Realmente aprecio su excelente respuesta a mi otra pregunta, y seguí los recursos citados, pero no obtuve tracción en el CDF para allí, y en lugar de atascar los comentarios, pensé que simplemente abriría una nueva consulta . Referencias adicionales son bienvenidas, si conoce alguna que funcione para esto.

D^{+}

$D^{+}$

— Alexis

Alexis: mi comentario no pretendía criticar; Su elección para abrir una nueva pregunta fue exactamente correcta (en mi opinión). Solo quería ahorrarle a las personas un poco de trabajo preliminar para rastrear algunas de las referencias relevantes: pensé que no necesariamente se les ocurriría a todos seguir su enlace a la otra pregunta, y podría no ocurrirle a las personas que hicieron esos enlaces en mi La respuesta tenía algunas referencias que querrían saber.

— Glen_b -Reinstate Monica

Ok, voy a tener una puñalada en esto. Ideas críticas bienvenidas.

En la página 192 Gibbons y Chakraborti (1992), citando Hodges, 1958, comenzar con una pequeña muestra (exacta?) CDF para la prueba bilateral (estoy intercambiando su y notación para y , respectivamente): $m,n$ $d$ $n_{1},n_{2}$ $x$

P (D_{n_{1}, n_{2}} \geq x) = 1 - P (D_{n_{1}, n_{2}} \leq x) = 1 - \frac{A (n_{1}, n_{2})}{(\binom{n_{1} + n_{2}}{n_{1}})}

$\text{P}{\left(D_{n_{1},n_{2}}\ge x\right)} = 1 - \text{P}\left(D_{n_{1},n_{2}} \leq x\right)=1-\frac{A\left(n_{1},n_{2}\right)}{\binom{n_{1}+n_{2}}{n_{1}}}$

Donde se produce a través de una enumeración de caminos (aumentando monotónicamente en y ) desde el origen hasta el punto través de un gráfico con —sustituyendo por - los valores del eje x y el eje y son y . Además, los caminos deben obedecer la restricción de permanecer dentro de los límites (donde es el valor de la estadística de prueba de Kolmogorov-Smirnov): $A\left(n_{1},n_{2}\right)$ $n_{1}$ $n_{2}$ $\left(n_{1},n_{2}\right)$ $S_{m}(x)$ $F_{n_{1}}(x)$ $n_{1}F_{1}\left(x\right)$ $n_{2}F_{2}\left(x\right)$ $x$

\frac{n_{2}}{n_{1}} \pm \frac{(n_{1} + n_{2}) x}{(\binom{n_{1} + n_{2}}{n_{1}})}

$\frac{n_{2}}{n_{1}} \pm \frac{\left(n_{1}+n_{2}\right)x}{\binom{n_{1}+n_{2}}{n_{1}}}$

A continuación se muestra su imagen Figura 3.2 que proporciona un ejemplo para , con 12 de estos caminos: $A(3,4)$

Figura 3.2 de la página 193 de Gibbons y Chakraborti (1992) Inferencia estadística no paramétrica.

Gibbons y Chakaborti continúan diciendo que el valor unilateral se obtiene utilizando este mismo método gráfico, pero solo con el límite inferior para , y solo la parte superior para . $p$ $D^{+}_{n_{1},n_{2}}$ $D^{-}_{n_{1},n_{2}}$

Estos enfoques de muestra pequeña implican algoritmos de enumeración de ruta y / o relaciones de recurrencia, que indudablemente hacen deseables los cálculos asintóticos. Gibbons y Chakraborti también notan los CDF limitantes cuando y aproximan al infinito, de : $n_{1}$ $n_{2}$ $D_{n_{1},n_{2}}$

lim_{n_{1}, n_{2} \to \infty} P (\sqrt{\frac{n_{1} n_{2}}{n_{1} + n_{2}}} D_{n_{1}, n_{2}} \leq x) = 1 - 2 \sum_{i = 1}^{\infty} {(- 1)}^{i - 1} e^{- 2 i^{2} x^{2}}

$\lim_{n_{1},n_{2}\to \infty}\text{P}\left(\sqrt{\frac{n_{1}n_{2}}{n_{1}+n_{2}}}D_{n_{1},n_{2}} \le x\right) = 1 - 2\sum_{i=1}^{\infty}{\left(-1\right)^{i-1}e^{-2i^{2}x^{2}}}$

Y dan el CDF limitante de (o ) como: $D^{+}_{n_{1},n_{2}}$ $D^{-}_{n_{1},n_{2}}$

lim_{n_{1}, n_{2} \to \infty} P (\sqrt{\frac{n_{1} n_{2}}{n_{1} + n_{2}}} D_{n_{1}, n_{2}}^{+} \leq x) = 1 - e^{- 2 x^{2}}

$\lim_{n_{1},n_{2}\to \infty}\text{P}\left(\sqrt{\frac{n_{1}n_{2}}{n_{1}+n_{2}}}D^{+}_{n_{1},n_{2}} \le x\right) = 1 - e^{-2x^{2}}$

Debido a que y son estrictamente no negativos, el CDF solo puede tomar valores distintos de cero sobre : $D^{+}$ $D^{-}$ $[0,\infty)$

$CDF de $ D ^ {+} $ (o $ D ^ {-} $)$

Referencias
Gibbons, JD y Chakraborti, S. (1992). Inferencia estadística no paramétrica . Marcel Decker, Inc., 3ª edición, edición revisada y ampliada.

Hodges, JL (1958). La probabilidad de significación de la prueba de dos muestras de Smirnov. Arkiv för matematik . 3 (5): 469-486.

— Alexis
fuente

El cdf real existe en todas partes, pero para el cdf será cero; la forma funcional que dio sólo se aplica para (esto es susceptible de razonamiento simple: ¿cuál es ?

(- \infty, 0)

$(-\infty,0)$

x \geq 0

$x\geq 0$

P (D^{+} < 0)

$P(D^+<0)$

— Glen_b -Reinstate Monica