¿Hay algún teorema que diga que converge en distribución a una normal cuando va al infinito?

Sea cualquier distribución con media definida, y desviación estándar, . El teorema del límite central dice que converge en la distribución a una distribución normal estándar. Si reemplazamos por la desviación estándar de muestra , ¿hay un teorema que indique que converge en la distribución a una distribución t? Ya que para grandes $X$ $\mu$ $\sigma$

\sqrt{n} \frac{\bar{X} - μ}{σ}

$\sqrt{n}\frac{\bar{X} - \mu}{\sigma}$

σ

$\sigma$

S

$S$

\sqrt{n} \frac{\bar{X} - μ}{S}

$\sqrt{n}\frac{\bar{X} - \mu}{S}$

n

$n$ una distribución t se aproxima a una normal, el teorema, si existe, puede indicar que el límite es una distribución normal estándar. Por lo tanto, me parece que las distribuciones t no son muy útiles, que son útiles solo cuando es aproximadamente normal. ¿Es este el caso?

X

$X$

Si es posible, ¿indicaría referencias que contienen una prueba de este CLT cuando se reemplaza por ? Tal referencia podría usar preferiblemente conceptos de teoría de la medida. Pero cualquier cosa sería genial para mí en este momento. $\sigma$ $S$

— Esp Flo
fuente

Una aplicación del teorema de Slutsky, cuyas versiones a veces se denominan lemas convergentes , muestra que el límite es normal normal.

— cardenal

Para elaborar el comentario de @cardinal, considere una muestra iid de tamaño de una variable aleatoria con alguna distribución y momentos finitos, media y desviación estándar . Definir la variable aleatoria. $n$ $X$ $\mu$ $\sigma$

Z_{n} = \sqrt{n} ({\bar{X}}_{n} - μ)

$Z_n = \sqrt {n}\left(\bar X_n -\mu\right)$ El teorema del límite central básico dice que

Z_{n} \to_{d} Z \sim N (0, σ^{2})

$Z_n \rightarrow_{d} Z \sim N(0,\sigma^2)$

Consideremos ahora la variable aleatoria donde es la desviación estándar de la muestra de . $Y_n = \frac 1{S_n}$ $S_n$ $X$

La muestra es iid, por lo que los momentos de muestra estiman constantemente los momentos de la población. Entonces

Y_{n} \to_{p} \frac{1}{σ}

$Y_n \rightarrow_{p} \frac 1{\sigma}$

Introduzca @cardinal: el teorema de Slutsky (o lema) dice, entre otras cosas, que donde es una constante . Este es nuestro caso

{Z_{n} \to_{d} Z, Y_{n} \to_{p} c} \Rightarrow Z_{n} Y_{n} \to_{d} c Z

$\{Z_n \rightarrow_{d} Z, Y_n\rightarrow_{p} c\} \Rightarrow Z_nY_n\rightarrow_{d} cZ$

c

$c$

Z_{n} Y_{n} = \sqrt{n} \frac{\bar{X_{n}} - μ}{S_{n}} \to_{d} \frac{1}{σ} Z \sim N (0, 1)

$Z_nY_n = \sqrt{n}\frac{\bar{X_n} - \mu}{S_n}\rightarrow_{d} \frac 1{\sigma}Z \sim N(0,1)$

En cuanto a la utilidad de la distribución de Student, solo menciono que, en sus "usos tradicionales" relacionados con las pruebas estadísticas, todavía es indispensable cuando los tamaños de muestra son realmente pequeños (y todavía nos enfrentamos a tales casos), pero también, que tiene se ha aplicado ampliamente para modelar series autorregresivas con heterocedasticidad (condicional), especialmente en el contexto de Econometría de Finanzas, donde tales datos surgen con frecuencia.

— Alecos Papadopoulos
fuente

+1, siempre es agradable ver cuándo las respuestas a preguntas teóricas están relacionadas con su utilidad en la práctica

— Andy

@Andy Estoy de acuerdo, ese es el ideal.

— Alecos Papadopoulos