Si las distribuciones con los mismos momentos son idénticas

Los siguientes son similares pero diferentes de las publicaciones anteriores aquí y aquí

Dadas dos distribuciones que admiten momentos de todas las órdenes, si todos los momentos de dos distribuciones son iguales, ¿son distribuciones idénticas?
Dadas dos distribuciones que admiten funciones generadoras de momentos, si tienen los mismos momentos, ¿son las mismas funciones generadoras de momentos?

De acuerdo con la pregunta # 2, creo que en general, si dos funciones tienen el mismo MGF (si existe en un vecindario abierto de 0), entonces siguen la misma distribución. Lamentablemente, no conozco la prueba, ya que es bastante compleja. Espero que eso ayude un poco.

— nicefella 03 de

@nicefella La prueba es relativamente fácil: evaluar el MGF a valores imaginarios proporciona la función característica que puede invertirse para producir la distribución. La inversión funciona siempre que el MGF sea analítico en una vecindad del origen.

— whuber

Déjame responder en orden inverso:

2. Sí Si existen sus MGF, serán los mismos *.

mira aquí y aquí por ejemplo

De hecho, se desprende del resultado que das en la publicación de la que proviene; si el MGF de manera exclusiva ** determina la distribución, y dos distribuciones tienen MGF y tienen la misma distribución, deben tener el mismo MGF (de lo contrario, tendría un contraejemplo para 'MGFs determina de manera única las distribuciones').

* para ciertos valores de 'mismo', debido a la frase 'casi en todas partes'

** ' casi en todas partes '

No, ya que existen contraejemplos.

Kendall y Stuart enumeran una familia de distribución continua (posiblemente originalmente debido a Stieltjes o alguien de esa época, pero mi recuerdo no está claro, han pasado algunas décadas) que tienen secuencias de momentos idénticas y, sin embargo, son diferentes.

El libro de Romano y Siegel (Contraejemplos en probabilidad y estadística) enumera los contraejemplos en la sección 3.14 y 3.15 (páginas 48-49). (En realidad, al mirarlos, creo que ambos estaban en Kendall y Stuart).

Romano, JP y Siegel, AF (1986),
Contraejemplos en probabilidad y estadística.
Boca Ratón: Chapman y Hall / CRC.

Para 3.15 acreditan a Feller, 1971, p227

Ese segundo ejemplo involucra a la familia de las densidades.

F (X; α) = \frac{1}{24} Exp (- X^{1 / / 4 4}) [1 - α pecado (X^{1 / / 4 4})], X > 0 0; 0 0 < α < 1

$f(x;\alpha) = \frac{1}{24}\exp(-x^{1/4})[1-\alpha \sin(x^{1/4})], \quad x>0;\,0<\alpha<1$

Las densidades difieren como $\alpha$ cambia, pero las secuencias de momento son las mismas.

Que las secuencias de momento son las mismas implica dividir en las partes $f$

$\frac{1}{24}\exp(-x^{1/4}) -\alpha \frac{1}{24}\exp(-x^{1/4})\sin(x^{1/4})$

y luego muestra que la segunda parte aporta 0 a cada momento, por lo que son todos iguales a los momentos de la primera parte.

Así es como se ven dos de las densidades. El azul es el caso en el límite izquierdo ( ), el verde es el caso con . El gráfico del lado derecho es el mismo pero con escalas log-log en los ejes. $\alpha=0$ $\alpha=0.5$

ejemplo de mismos momentos, diferentes densidades

Mejor aún, tal vez, haber tomado un rango mucho más grande y haber usado una escala de cuarta raíz en el eje x, haciendo que la curva azul sea recta, y la verde se mueva como una curva de pecado arriba y abajo, algo así:

ingrese la descripción de la imagen aquí

Las oscilaciones por encima y por debajo de la curva azul, ya sea de mayor o menor magnitud, resultan para dejar inalterados todos los momentos enteros positivos.

$X_1,X_2$ $\alpha$ $X_1$ $-X_2$

— Glen_b -Reinstate a Monica
fuente

¡Gracias! En su respuesta a mi segunda pregunta, ¿qué significa "para ciertos valores de 'mismo'"? ¿Puedes dar contraejemplos a mi primera pregunta?

— StackExchange para todos

Es simplemente una referencia a la calificación necesaria causada por "casi en todas partes" que se encuentra en la pregunta anterior. Por lo tanto, los contraejemplos podrían ver las funciones de densidad que eran las mismas en casi todas partes pero que diferían en un subconjunto contable de puntos: ya les di un ejemplo anteriormente.

— Glen_b: reinstala a Mónica

Para mi primera pregunta, (de acuerdo con su respuesta sí a mi segunda pregunta y a mi pregunta en mi publicación anterior), ¿todos los contraejemplos pertenecen al caso cuando no ambas distribuciones admiten funciones generadoras de momento?

— StackExchange para todos

Que debe ser así es una consecuencia de la afirmación "Si el mgf es finito en un intervalo abierto que contiene cero, entonces la distribución asociada se caracteriza por sus momentos" en la respuesta del cardenal con la que creo que me relacioné. Si un mgf no es finito en ese sentido, esa es la única forma de que la distribución no se caracterice por sus momentos.

— Glen_b: reinstala a Mónica

La primera pregunta se respondió en stats.stackexchange.com/questions/25010/… y en la pregunta reciente del OP en stats.stackexchange.com/questions/84158/… . El ejemplo de Feller se atribuye a Stieltjes (mucho antes del tiempo de Feller) en Stuart & Ord.

— whuber