Identidad de las funciones generadoras de momento.

¿Hay distribuciones no idénticas que tengan la misma función generadora de momento?

Si.

En un ejercicio, Stuart y Ord ( Teoría Avanzada de Estadística de Kendall .., 5ª edición, Ex 3,12) citan resultado de 1918 TJ Stieltjes (que aparentemente aparece en su Oeuvres Completes , ):

Si es una función impar del período $f$ , muestra que$\frac{1}{2}$

$$\int_0^\infty x^r x^{-\log x} f(\log x) dx = 0$$

para todos los valores integrales de . Por lo tanto, muestra que las distribuciones$r$

$$dF = x^{-\log x}(1 - \lambda \sin(4\pi \log x))\ dx, \quad 0 \le x \lt \infty;\quad 0 \le |\lambda| \le 1,$$

tener los mismos momentos sea cual sea el valor de .$\lambda$

(En el original, aparece solo como λ ; la restricción en el tamaño de λ surge del requisito de mantener todos los valores de la función de densidad d F no negativos.) El ejercicio es fácil de resolver mediante la sustitución x = exp ( y ) y completando el cuadrado. El caso λ = 0 es la distribución lognormal bien conocida .$|\lambda|$$\lambda$$\lambda$$dF$$x = \exp(y)$$\lambda=0$

$\lambda=0$$\lambda = -1/4$$\lambda = 1/2$